Usando o método da variaça de parâmetro, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) linear não homogênea com coeficientes constantes usando o método da variação de parâmetros. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar o método da variação de parâmetros para achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea relacionada, que é:
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente assume uma solução da forma
e substitui na equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Então:
Como
, temos:
Passo 4
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinamos com condições iniciais, se tiverem.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea usando o método da variação de parâmetros. A ideia é procurar uma solução da forma:
Onde
e
são funções que vamos determinar.
Passo 6
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Mas para simplificar, usando a técnica de variação de parâmetros, impomos que:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
-
\ -
Somando as duas equações:
Subtraindo as equações:
Passo 8
Integrando
e
:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração.
Passo 9
Substituindo
e
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.