Usando o método da variaça de parâmetro, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
y^prime prime-y=e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) linear não homogênea com coeficientes constantes usando o método da variação de parâmetros. A equação que temos é:
y'' - y = e^2x
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar o método da variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea relacionada, que é:
y'' - y = 0
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente assume uma solução da forma y = e^rx e substitui na equação para encontrar os valores de r.

Passo 3

Substituindo y = e^rx na equação homogênea:
y' = r e^rx y'' = r^2 e^rx
Então:
r^2 e^rx - e^rx = 0 e^rx(r^2 - 1) = 0
Como e^rx neq 0, temos:
r^2 - 1 = 0 r^2 = 1 r = pm 1

Passo 4

Com os valores de r, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^x + C2 e^-x
Onde C1 e C2 são constantes que determinamos com condições iniciais, se tiverem.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação não homogênea usando o método da variação de parâmetros. A ideia é procurar uma solução da forma:
yp = u1(x) e^x + u2(x) e^-x
Onde u1(x) e u2(x) são funções que vamos determinar.

Passo 6

Primeiro, calculamos as derivadas de yp:
yp' = u1' e^x + u1 e^x + u2' e^-x - u2 e^-x yp'' = u1'' e^x + 2u1' e^x + u1 e^x + u2'' e^-x - 2u2' e^-x + u2 e^-x
Mas para simplificar, usando a técnica de variação de parâmetros, impomos que:
u1' e^x + u2' e^-x = 0 u1' e^x - u2' e^-x = e^2x

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  1. u1' e^x + u2' e^-x = 0 \
  2. u1' e^x - u2' e^-x = e^2x
Somando as duas equações:
2u1' e^x = e^2x u1' = e^2x2 e^x = e^x2
Subtraindo as equações:
2u2' e^-x = -e^2x u2' = -e^2x2 e^-x = -e^3x2

Passo 8

Integrando u1' e u2':
u1 = integral e^x2 dx = e^x2 + K u2 = integral -e^3x2 dx = -e^3x6 + K
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração.

Passo 9

Substituindo u1 e u2 na expressão de yp:
yp = ( e^x2 ) e^x + ( -e^3x6 ) e^-x yp = e^2x2 - e^2x6 yp = ( 12 - 16 ) e^2x yp = 13 e^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^x + C2 e^-x + 13 e^2x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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