Teorema de Green e Integrais curvilineas:
Calcule a integral de linha
\int C(x 2+y 2) \mathrm{ds} onde C é a curva dada pelo arco da circunferência x^{2}+y^{2}=1 do ponto A(3,0) ao ponto B(0,3), no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_C (x^2+y^2)\,\mathrm{d}s
onde C é o arco da circunferência x^{2}+y^{2}=1 do ponto A(3,0) ao ponto B(0,3), no primeiro quadrante.
Informações dadas e observações importantes:
  • A integral a calcular é uma integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva, com diferencial de comprimento \mathrm{d}s.
  • O enunciado apresenta uma inconsistência: a equação x^{2}+y^{2}=1 corresponde à circunferência de raio 1, mas os pontos A(3,0) e B(0,3) estão a distância 3 da origem (pois 3^{2}+0^{2}=9), ou seja, pertencem à circunferência de raio 3, cuja equação seria x^{2}+y^{2}=9.
  • Não vou pedir para você decidir — vou tomar a interpretação mais razoável que torna a questão consistente com os pontos dados: assumirei que a curva é o arco da circunferência de raio R=3 no primeiro quadrante, do ponto A(3,0) a B(0,3). Se o enunciado original realmente quisesse raio 1, basta substituir R=1 nos passos seguintes (o método é o mesmo).
A pergunta a responder: calcular o valor numérico da integral \displaystyle\int_C (x^2+y^2)\,\mathrm{d}s para o arco de circunferência de raio R=3 no primeiro quadrante entre A e B.

Passo 2

Escolha do método e explicação do conceito usado (aula curta e prática).
  • Para integrar uma função escalar f(x,y) ao longo de uma curva C usamos a parametrização da curva e a fórmula
\int_C f(x,y)\,\mathrm{d}s = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big|r'(t)\big|\,\mathrm{d}t,
onde r(t)=(x(t),y(t)) parametra C para t\in[a,b] e \big|r'(t)\big| é a velocidade (módulo da derivada), que dá o elemento de comprimento \mathrm{d}s = \big|r'(t)\big|\,\mathrm{d}t.
  • No caso de uma circunferência de raio R centrada na origem, a parametrização padrão é
r(t) = \big(R\cos t,\,R\sin t\big).
Essa parametrização percorre a circunferência com velocidade constante e é fácil de tratar.
  • Observação útil: sobre a circunferência de raio R temos sempre x^{2}+y^{2}=R^{2}, ou seja, o integrando é constante ao longo da curva, o que simplifica muito a integral.

Passo 3

Parametrização da curva C e cálculo de \mathrm{d}s.
  • Para o arco no primeiro quadrante que vai de A=(R,0) até B=(0,R) usamos t variando de 0 a \pi/2. Com R=3 tomamos
r(t) = \big(3\cos t,\,3\sin t\big),\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{2}.
  • Derivando,
r'(t) = \big(-3\sin t,\,3\cos t\big).
  • O módulo (velocidade) é
\big|r'(t)\big| = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2} = \sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t} = \sqrt{9(\sin^2 t+\cos^2 t)} = \sqrt{9}=3.
Logo \mathrm{d}s = \big|r'(t)\big|\,\mathrm{d}t = 3\,\mathrm{d}t. (Repare que para uma parametrização circular uniforme a velocidade é constante e igual a R.)

Passo 4

Substituição do integrando e cálculo direto.
  • Sobre a circunferência de raio 3 temos x^{2}+y^{2}=3^{2}=9. Então o integrando (x^2+y^2) é a constante 9 ao longo de toda a curva.
  • Aplicando a fórmula da integral de linha com a parametrização:
\int_C (x^2+y^2)\,\mathrm{d}s = \int_{0}^{\pi/2} \big( x(t)^2 + y(t)^2 \big)\, \big|r'(t)\big|\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{\pi/2} 9 \cdot 3\,\mathrm{d}t = 27 \int_{0}^{\pi/2} \mathrm{d}t.
  • Calculando a integral simples,
27 \int_{0}^{\pi/2} \mathrm{d}t = 27\left[\;t\;\right]_{0}^{\pi/2} = 27\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{27\pi}{2}.

Passo 5

Interpretação alternativa (intuitiva) — jeito rápido para prova.
  • Como x^2+y^2 é constante igual a R^2 na circunferência de raio R, a integral se torna
\int_C (x^2+y^2)\,\mathrm{d}s = R^2 \cdot (\text{comprimento do arco }C).
  • O arco pedido é um quarto de circunferência, então seu comprimento é \dfrac{1}{4}\cdot 2\pi R = \dfrac{\pi R}{2}. Multiplicando:
R^2\cdot \frac{\pi R}{2} = \frac{\pi R^3}{2}.
  • Substituindo R=3 obtemos \dfrac{\pi\cdot 3^3}{2}=\dfrac{27\pi}{2}. Esse raciocínio é curto e evita parametrizações longas — bom truque para a prova.

Resposta

\dfrac{27\pi}{2}

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