Teorema de Green e Integrais curvilineas:
Calcule a integral de linha \int C(x 2+y 2) \mathrm{ds} onde C é a curva dada pelo arco da circunferência x^{2}+y^{2}=1 do ponto A(3,0) ao ponto B(0,3), no primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_C (x^2+y^2)\,\mathrm{d}s
onde C é o arco da circunferência x^{2}+y^{2}=1 do ponto A(3,0) ao ponto B(0,3), no primeiro quadrante.
Informações dadas e observações importantes:
A integral a calcular é uma integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva, com diferencial de comprimento \mathrm{d}s.
O enunciado apresenta uma inconsistência: a equação x^{2}+y^{2}=1 corresponde à circunferência de raio 1, mas os pontos A(3,0) e B(0,3) estão a distância 3 da origem (pois 3^{2}+0^{2}=9), ou seja, pertencem à circunferência de raio 3, cuja equação seria x^{2}+y^{2}=9.
Não vou pedir para você decidir — vou tomar a interpretação mais razoável que torna a questão consistente com os pontos dados: assumirei que a curva é o arco da circunferência de raio R=3 no primeiro quadrante, do ponto A(3,0) a B(0,3). Se o enunciado original realmente quisesse raio 1, basta substituir R=1 nos passos seguintes (o método é o mesmo).
A pergunta a responder: calcular o valor numérico da integral \displaystyle\int_C (x^2+y^2)\,\mathrm{d}s para o arco de circunferência de raio R=3 no primeiro quadrante entre A e B.
Passo 2
Escolha do método e explicação do conceito usado (aula curta e prática).
Para integrar uma função escalar f(x,y) ao longo de uma curva C usamos a parametrização da curva e a fórmula
onde r(t)=(x(t),y(t)) parametra C para t\in[a,b] e \big|r'(t)\big| é a velocidade (módulo da derivada), que dá o elemento de comprimento \mathrm{d}s = \big|r'(t)\big|\,\mathrm{d}t.
No caso de uma circunferência de raio R centrada na origem, a parametrização padrão é
r(t) = \big(R\cos t,\,R\sin t\big).
Essa parametrização percorre a circunferência com velocidade constante e é fácil de tratar.
Observação útil: sobre a circunferência de raio R temos sempre x^{2}+y^{2}=R^{2}, ou seja, o integrando é constante ao longo da curva, o que simplifica muito a integral.
Passo 3
Parametrização da curva C e cálculo de \mathrm{d}s.
Para o arco no primeiro quadrante que vai de A=(R,0) até B=(0,R) usamos t variando de 0 a \pi/2. Com R=3 tomamos
Logo \mathrm{d}s = \big|r'(t)\big|\,\mathrm{d}t = 3\,\mathrm{d}t. (Repare que para uma parametrização circular uniforme a velocidade é constante e igual a R.)
Passo 4
Substituição do integrando e cálculo direto.
Sobre a circunferência de raio 3 temos x^{2}+y^{2}=3^{2}=9. Então o integrando (x^2+y^2) é a constante 9 ao longo de toda a curva.
Aplicando a fórmula da integral de linha com a parametrização: