Exercício 7. Determine, se possível, o(s) valor(es) para a constante real a de modo que a função
f(x)= \begin{cases}4 a x-(a x)^{2}, & \text { se } x \geq-2, \\\ a \sqrt{2-x}-2 x, & \text { se } x<-2,\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)= \begin{cases}4 a x-(a x)^{2}, & \text{se } x \geq -2, \\[4pt] a \sqrt{2-x}-2 x, & \text{se } x<-2,\end{cases}
e pede para determinar valores reais da constante a (o enunciado não especifica explicitamente qual propriedade se deseja — por exemplo, continuidade ou diferenciabilidade — então vou tratar os dois casos mais comuns que aparecem em provas):
  • (A) encontrar os valores de a para os quais f é contínua em x=-2;
  • (B) encontrar os valores de a para os quais f é diferenciável em x=-2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Ponto de interesse: x=-2, pois aí a definição da função muda de ramo.
  • Ramo à direita (para x\ge-2): f_{+}(x)=4 a x - a^{2}x^{2}.
  • Ramo à esquerda (para x<-2): f_{-}(x)=a\sqrt{2-x}-2x.]

Passo 2

O que significa exigir continuidade em x=-2? Vou explicar: uma função f é contínua em x=-2 se o limite pela direita em -2 e o limite pela esquerda em -2 existirem e forem iguais, e iguais ao valor da função em -2. Como a definição da função dá explicitamente o valor em x=-2 pelo ramo x\ge-2, temos que exigir
\lim_{x\to -2^-} f(x)=f(-2)=\lim_{x\to -2^+} f(x).
Isto significa que basta igualar o valor do ramo esquerdo, avaliado em -2 via limite, ao valor do ramo direito em -2.

Passo 3

Calcular o valor do ramo direito em x=-2. O ramo direito é f_{+}(x)=4 a x - a^{2}x^{2}. Avaliando em x=-2:
f_{+}(-2)=4a(-2)-a^{2}(-2)^{2} = -8a -4a^{2}.

Passo 4

Calcular o limite (valor) do ramo esquerdo em x=-2. O ramo esquerdo é f_{-}(x)=a\sqrt{2-x}-2x. Como \sqrt{2-x} é contínua onde está definida, basta substituir x=-2:
f_{-}(-2)=a\sqrt{2-(-2)} -2(-2) = a\sqrt{4} +4 = 2a +4.
Observe que peguei o dado da definição do ramo esquerdo do enunciado.

Passo 5

Impor igualdade para continuidade: f_{+}(-2)=f_{-}(-2). Substituindo os resultados:
-8a -4a^{2} = 2a +4.
Agora resolvemos esta equação para a.

Passo 6

Resolver a equação quadrática. Reescrevendo:
-4a^{2} -8a -2a -4 =0 \quad\Rightarrow\quad -4a^{2} -10a -4 =0.
Multiplicando por -1:
4a^{2} +10a +4 =0.
Calcular o discriminante \Delta:
\Delta = 10^{2} - 4\cdot 4\cdot 4 = 100 - 64 = 36.
Então as raízes são
a = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2\cdot 4} = \frac{-10 \pm 6}{8}.
Assim:
a_1 = \frac{-10+6}{8} = \frac{-4}{8} = -\tfrac{1}{2},\qquad a_2 = \frac{-10-6}{8} = \frac{-16}{8} = -2.

Passo 7

Interpretação do resultado da continuidade: os valores a=-\tfrac{1}{2} e a=-2 fazem com que os dois ramos coincidam em x=-2, portanto a função é contínua em x=-2 para exatamente esses dois valores de a. Em outras palavras, para a\in\{-\tfrac{1}{2},-2\} a condição de continuidade em -2 é satisfeita.

Passo 8

Agora vamos tratar diferenciabilidade em x=-2. Primeiro a ideia: para f ser diferenciável em -2 é necessário (e suficiente) que f seja contínua em -2 e que as derivadas laterais existam e sejam iguais:
f_{-}'(-2)=f_{+}'(-2).
Vou calcular as derivadas dos dois ramos e igualá-las. Observe que somente valores de a que já garantam continuidade podem ser candidatos finais; ao final verificaremos essa coerência.

Passo 9

Derivar o ramo direito f_{+}(x)=4 a x - a^{2}x^{2}. Tratar a como constante ao derivar em relação a x:
f_{+}'(x)=4a - 2a^{2}x.
Avaliar em x=-2:
f_{+}'(-2)=4a - 2a^{2}(-2)=4a +4a^{2}=4a(1+a).

Passo 10

Derivar o ramo esquerdo f_{-}(x)=a\sqrt{2-x}-2x = a(2-x)^{1/2} - 2x. Derivando (uso a regra da cadeia para (2-x)^{1/2}):
f_{-}'(x)=a\cdot \tfrac{1}{2}(2-x)^{-1/2}\cdot(-1) -2 = -\frac{a}{2\sqrt{2-x}} -2.
Avaliar em x=-2 (note que \sqrt{2-(-2)}=\sqrt{4}=2):
f_{-}'(-2) = -\frac{a}{2\cdot 2} -2 = -\frac{a}{4} -2.

Passo 11

Impor igualdade das derivadas laterais:
f_{+}'(-2)=f_{-}'(-2)\quad\Rightarrow\quad 4a +4a^{2} = -\frac{a}{4} -2.
Resolver essa equação para a.

Passo 12

Resolver a equação algébrica. Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
16a +16a^{2} = -a -8.
Reorganizando:
16a^{2} +16a + a +8 = 0 \quad\Rightarrow\quad 16a^{2} +17a +8 =0.
Calcular o discriminante:
\Delta = 17^{2} - 4\cdot 16\cdot 8 = 289 - 512 = -223.
Como \Delta<0, a equação não tem raízes reais. Portanto não existe a\in\mathbb{R} que satisfaça a igualdade das derivadas laterais.

Passo 13

Conclusão sobre diferenciabilidade: não existe nenhum número real a tal que as derivadas laterais em -2 coincidam. Consequentemente, não há nenhum valor real de a que torne f diferenciável em x=-2. Em particular, os dois valores que garantiram continuidade ( a=-\tfrac{1}{2} e a=-2) não tornam f diferenciável, o que pode ser verificado substituindo-os nas expressões das derivadas:
  • Para a=-\tfrac{1}{2}: f_{+}'(-2)=4a+4a^{2}=-1, enquanto f_{-}'(-2)=-\tfrac{a}{4}-2=-\tfrac{1}{8}-2=-\tfrac{15}{8}, diferente.
  • Para a=-2: f_{+}'(-2)=4(-2)+4(-2)^{2}=8, enquanto f_{-}'(-2)=-\tfrac{(-2)}{4}-2=\tfrac{1}{2}-2=-\tfrac{3}{2}, diferente.

Resposta

a=-\tfrac{1}{2} ou a=-2 (para f ser contínua em x=-2).
Nenhum a\in\mathbb{R} (não existe valor real de a que torne f diferenciável em x=-2).

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