Exercício 7. Determine, se possível, o(s) valor(es) para a constante real
de modo que a função
Passo 1
O enunciado fornece a função por partes
e pede para determinar valores reais da constante
(o enunciado não especifica explicitamente qual propriedade se deseja — por exemplo, continuidade ou diferenciabilidade — então vou tratar os dois casos mais comuns que aparecem em provas):
- (A) encontrar os valores de
para os quais é contínua em ; - (B) encontrar os valores de
para os quais é diferenciável em .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Ponto de interesse:
, pois aí a definição da função muda de ramo. - Ramo à direita (para
): . - Ramo à esquerda (para
): .]
Passo 2
O que significa exigir continuidade em
? Vou explicar: uma função
é contínua em
se o limite pela direita em
e o limite pela esquerda em
existirem e forem iguais, e iguais ao valor da função em
. Como a definição da função dá explicitamente o valor em
pelo ramo
, temos que exigir
Isto significa que basta igualar o valor do ramo esquerdo, avaliado em
via limite, ao valor do ramo direito em
.
Passo 3
Calcular o valor do ramo direito em
. O ramo direito é
. Avaliando em
:
Passo 4
Calcular o limite (valor) do ramo esquerdo em
. O ramo esquerdo é
. Como
é contínua onde está definida, basta substituir
:
Observe que peguei o dado da definição do ramo esquerdo do enunciado.
Passo 5
Impor igualdade para continuidade:
. Substituindo os resultados:
Agora resolvemos esta equação para
.
Passo 6
Resolver a equação quadrática. Reescrevendo:
Multiplicando por
:
Calcular o discriminante
:
Então as raízes são
Assim:
Passo 7
Interpretação do resultado da continuidade: os valores
e
fazem com que os dois ramos coincidam em
, portanto a função é contínua em
para exatamente esses dois valores de
. Em outras palavras, para
a condição de continuidade em
é satisfeita.
Passo 8
Agora vamos tratar diferenciabilidade em
. Primeiro a ideia: para
ser diferenciável em
é necessário (e suficiente) que
seja contínua em
e que as derivadas laterais existam e sejam iguais:
Vou calcular as derivadas dos dois ramos e igualá-las. Observe que somente valores de
que já garantam continuidade podem ser candidatos finais; ao final verificaremos essa coerência.
Passo 9
Derivar o ramo direito
. Tratar
como constante ao derivar em relação a
:
Avaliar em
:
Passo 10
Derivar o ramo esquerdo
. Derivando (uso a regra da cadeia para
):
Avaliar em
(note que
):
Passo 11
Impor igualdade das derivadas laterais:
Resolver essa equação para
.
Passo 12
Resolver a equação algébrica. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Reorganizando:
Calcular o discriminante:
Como
, a equação não tem raízes reais. Portanto não existe
que satisfaça a igualdade das derivadas laterais.
Passo 13
Conclusão sobre diferenciabilidade: não existe nenhum número real
tal que as derivadas laterais em
coincidam. Consequentemente, não há nenhum valor real de
que torne
diferenciável em
. Em particular, os dois valores que garantiram continuidade (
e
) não tornam
diferenciável, o que pode ser verificado substituindo-os nas expressões das derivadas:
- Para
: , enquanto , diferente. - Para
: , enquanto , diferente.
Resposta
Nenhum