Se o ponto p(x,y) equidista dos pontos A(-3,7) e B(4,3),qual e a relação existente entre x e y?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de Geometria Analítica. A pergunta é sobre encontrar a relação entre as coordenadas $ x $ e $ y $ de um ponto $ P(x, y) $ que está à mesma distância de dois pontos específicos, $ A(-3, 7) $ e $ B(4, 3) $. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada pela fórmula:
(x1, y1)
Como o ponto $ P(x, y) $ está equidistante de $ A $ e $ B $, as distâncias $ PA $ e $ PB $ são iguais. Então, temos:
(x2, y2)

Passo 3

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar as raízes:
(x + 3)^2 + (y - 7)^2 = (x - 4)^2 + (y - 3)^2

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos:
(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 14y + 49) = (x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9)

Passo 5

Em seguida, somamos os termos semelhantes em cada lado:
x^2 + 6x + 9 + y^2 - 14y + 49 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9

Passo 6

Vamos simplificar removendo $ x^2 $ e $ y^2 $ de ambos os lados:
x^2
y^2

Passo 7

Agora, vamos juntar os termos com $ x $ e $ y $ de um lado e os constantes do outro:
x
y

Passo 8

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 1 (já está simplificada):
14x - 8y = -33
Ou, se preferir, podemos escrever em termos de $ y $:
y

Resposta

A relação entre $ x $ e $ y $ é $ 14x - 8y = -33 $, ou equivalentemente, $ y = \frac{14x + 33}{8} $.

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