Se o ponto p(x,y) equidista dos pontos A(-3,7) e B(4,3),qual e a relação existente entre x e y?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de Geometria Analítica. A pergunta é sobre encontrar a relação entre as coordenadas $ x $ e $ y $ de um ponto $ P(x, y) $ que está à mesma distância de dois pontos específicos, $ A(-3, 7) $ e $ B(4, 3) $. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada pela fórmula:
Como o ponto $ P(x, y) $ está equidistante de $ A $ e $ B $, as distâncias $ PA $ e $ PB $ são iguais. Então, temos:
Passo 3
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 5
Em seguida, somamos os termos semelhantes em cada lado:
Passo 6
Vamos simplificar removendo $ x^2 $ e $ y^2 $ de ambos os lados:
Passo 7
Agora, vamos juntar os termos com $ x $ e $ y $ de um lado e os constantes do outro:
Passo 8
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 1 (já está simplificada):
Ou, se preferir, podemos escrever em termos de $ y $:
Resposta
A relação entre $ x $ e $ y $ é $ 14x - 8y = -33 $, ou equivalentemente, $ y = \frac{14x + 33}{8} $.