Encontre as assíntotas horizontais e verticais e faça um esboço do gráfico da função.
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Passo 1
O problema pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais de f(x)=
e fazer um esboço do gráfico. O conteúdo aqui é análise de funções racionais, usando limites para definir assíntotas.
Passo 2
Para assíntota vertical, identificamos as raízes do denominador. Como o denominador é
, ele se anula em
. Calculando os limites: para
,
e para
,
. Logo, há uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Para assíntota horizontal, estudamos o comportamento para
. Podemos reescrever:
Passo 4
Como
quando
, concluímos que
. Portanto existe uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, notamos que
é a hipérbole padrão
transladada 3 unidades para cima. Traçamos as retas-guia
e
. Em seguida: para
, a curva parte de +∞ quando
e decresce assintoticamente para
quando
. Para
, a curva sobe de -∞ em
até se aproximar de
quando
. Podemos marcar pontos como
e
e desenhar os dois ramos de hipérbole.
Resposta
Assíntota vertical: x=0; assíntota horizontal: y=3. O gráfico é a hipérbole de equação
com ramos em
e
, aproximando-se das retas mencionadas.