Encontre as assíntotas horizontais e verticais e faça um esboço do gráfico da função.
m) f(x)=3 x+1x

Passo 1

O problema pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais de f(x)= 3x+1x e fazer um esboço do gráfico. O conteúdo aqui é análise de funções racionais, usando limites para definir assíntotas.

Passo 2

Para assíntota vertical, identificamos as raízes do denominador. Como o denominador é x, ele se anula em x=0. Calculando os limites: para xto0^+, f(x)to+infty e para xto0^-, f(x)to-infty. Logo, há uma assíntota vertical em x=0.

Passo 3

Para assíntota horizontal, estudamos o comportamento para xtopminfty. Podemos reescrever:
f(x)=3x+1x=3+1x

Passo 4

Como 1/xto0 quando xtopminfty, concluímos que f(x)to3. Portanto existe uma assíntota horizontal em y=3.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, notamos que f(x)=3+1/x é a hipérbole padrão y=1/x transladada 3 unidades para cima. Traçamos as retas-guia x=0 e y=3. Em seguida: para x>0, a curva parte de +∞ quando xto0^+ e decresce assintoticamente para y=3 quando xto+infty. Para x<0, a curva sobe de -∞ em xto0^- até se aproximar de y=3 quando xto-infty. Podemos marcar pontos como f(1)=4 e f(-1)=2 e desenhar os dois ramos de hipérbole.

Resposta

Assíntota vertical: x=0; assíntota horizontal: y=3. O gráfico é a hipérbole de equação y=3+1/x com ramos em x>0 e x<0, aproximando-se das retas mencionadas.

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