Encontre as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções.
f(x)=\frac{x-9}{\sqrt{4 x^{2}+3 x+2}}
Resposta: Horizontais: y=1 / 2 e y=-1 / 2; Verticais: não há.

Passo 1

O enunciado pede para achar as assíntotas horizontais e verticais da função
f(x)=\frac{x-9}{\sqrt{4x^{2}+3x+2}}.
O conteúdo envolve duas coisas: (i) análise de domínio e eventual assíntota vertical, (ii) limites em x\to\pm\infty para assíntotas horizontais.

Passo 2

Primeiro, analisamos o domínio de f. Como o denominador é \sqrt{4x^{2}+3x+2}, precisamos ter
4x^{2}+3x+2\ge 0.
O discriminante desse polinômio é
\Delta = 3^{2}-4\cdot4\cdot2 = 9-32 = -23<0,
logo 4x^{2}+3x+2>0 para todo x\in\mathbb{R}. Assim o denominador nunca se anula e f está definida em todo \mathbb{R}. Como não há ponto de “explosão” do tipo denominador zero, concluímos que não há assíntotas verticais.

Passo 3

Agora, buscamos as assíntotas horizontais pelos limites em \pm\infty. Para x\to+\infty, fatoremos x em cima e |x| embaixo:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x-9}{\sqrt{4x^{2}+3x+2}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x\bigl(1-\tfrac{9}{x}\bigr)}{|x|\sqrt{4+\tfrac{3}{x}+\tfrac{2}{x^{2}}}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x\bigl(1-\tfrac{9}{x}\bigr)}{x\sqrt{4+\cdots}} =\frac{1}{2}.
Portanto, y=\tfrac12 é assíntota horizontal à direita.

Passo 4

Para x\to-\infty, temos |x|=-x, então
\lim_{x\to-\infty}\frac{x-9}{\sqrt{4x^{2}+3x+2}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{x\bigl(1-\tfrac{9}{x}\bigr)}{-x\sqrt{4+\tfrac{3}{x}+\tfrac{2}{x^{2}}}} =-\frac{1}{2}.
Isso dá a assíntota horizontal y=-\tfrac12 à esquerda.

Resposta

Horizontais: y=\tfrac12 e y=-\tfrac12.
Verticais: não há.

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