Prove que \left.\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=0

Passo 1

O enunciado pede para provar que \lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)=0. O conteúdo aqui é limite de sequências reais; vamos usar a técnica de racionalização para reescrever a expressão e em seguida aplicar o Teorema do Confronto (ou comparação) de sequências.

Passo 2

Para racionalizar, multiplicamos a diferença pelo conjugado \sqrt{n+1}+\sqrt{n}, obtendo
\sqrt{n+1}-\sqrt{n} =\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.

Passo 3

Notamos que, para todo n\ge1,
\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\;\ge\;2\sqrt{n}.
Logo,
0<\sqrt{n+1}-\sqrt{n} =\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \le\frac{1}{2\sqrt{n}}.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{2\sqrt{n}}=0 e
0<\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\le\frac{1}{2\sqrt{n}},
pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)=0.

Resposta

0

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