Exercício 1. Calcule o limite a seguir justificando cada passagem.
  1. \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{2} \operatorname{sen}(x)}{x^{4}+5 x-8} Resposta: 0

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}\operatorname{sen}(x)}{x^{4}+5x-8}.
Aqui vemos que o numerador cresce como x^2 (multiplicado por \operatorname{sen}(x), que é limitado em módulo por 1) e o denominador cresce como x^4. Para formalizar isso, vamos dividir numerador e denominador pela maior potência de x, que é x^4.

Passo 2

Dividindo tudo por x^4, obtemos
\frac{2x^{2}\operatorname{sen}(x)}{x^{4}+5x-8} = \frac{\displaystyle\frac{2x^{2}\operatorname{sen}(x)}{x^4}}{\displaystyle\frac{x^4+5x-8}{x^4}} = \frac{\displaystyle\frac{2\operatorname{sen}(x)}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^3} - \frac{8}{x^4}}.

Passo 3

  1. Como \operatorname{sen}(x) é limitado em módulo por 1,
\left|\frac{2\operatorname{sen}(x)}{x^2}\right|\le \frac{2}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to+\infty}\frac{2\operatorname{sen}(x)}{x^2}=0.
  1. Claramente
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1 + \tfrac{5}{x^3} - \tfrac{8}{x^4}\Bigr)=1.
Portanto, pelo limite do quociente, temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{2\operatorname{sen}(x)}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^3} - \frac{8}{x^4}} =\frac{0}{1}=0.

Resposta

0

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