Exercício 5. Uma montadora de computadores determina que um empregado após x dias de treinamento, monta m computadores por dia, onde
m(x)=\frac{20 x^{2}}{x^{2}+x+5} .
Qual é o comportamento de m=m(x) para treinamentos longos?
Resposta: se aproxima de 20 montagens.

Passo 1

O enunciado define a produção diária m de um empregado após x dias de treinamento pela função
m(x)=\frac{20\,x^{2}}{x^{2}+x+5}.
Queremos estudar o comportamento de m(x) quando x fica muito grande (treinamentos longos), ou seja, calcular \lim_{x\to\infty}m(x).

Passo 2

Para calcular \lim_{x\to\infty}m(x), dividimos numerador e denominador por x^{2}, o maior grau de x:
m(x) =\frac{20\,x^{2}}{x^{2}+x+5} =\frac{20}{1+\frac{1}{x}+\frac{5}{x^{2}}}.

Passo 3

Tomando o limite quando x\to\infty, os termos \tfrac{1}{x} e \tfrac{5}{x^{2}} tendem a zero, ficando
\lim_{x\to\infty}m(x) =\frac{20}{1+0+0} =20.

Passo 4

A conclusão é que, após treinamentos muito longos, a produção diária do empregado se estabiliza em cerca de 20 computadores por dia.

Resposta

Para treinamentos longos, m(x) se aproxima de 20 montagens por dia.

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