Exercício 4. Considere a função
f(x)=\frac{x-5}{x^{2}-2 x+1} .
Essa função possui assíntotas verticais? E horizontais? Quais são? justifique.
Resposta: Horizontais: y=0; Verticais: x=1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x-5}{x^{2}-2x+1}
e pede para identificar se há assíntotas verticais e horizontais, e quais são. Vamos usar conhecimentos de limites e grau de polinômios.

Passo 2

Para achar assíntotas verticais, primeiro identificamos o domínio de f, isto é, onde o denominador se anula. Note que
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2},
logo o denominador é zero apenas em x=1. Assim, o domínio é todos os x\neq1 e x=1 é candidato a assíntota vertical.

Passo 3

Verificamos o comportamento de f(x) quando x\to1. Como
x-5\to1-5=-4 \quad\text{e}\quad (x-1)^{2}\to0^{+},
temos
\lim_{x\to1^\pm}f(x) =\lim_{x\to1^\pm}\frac{x-5}{(x-1)^{2}} =\frac{-4}{0^{+}}=-\infty.
Como em ambos os lados o valor tende a -\infty, concluímos que x=1 é assíntota vertical.

Passo 4

Para assíntota horizontal, analisamos x\to\pm\infty. O grau do numerador é 1 e o do denominador é 2, portanto
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-5}{x^{2}-2x+1} =0.
Isso mostra que a reta y=0 é assíntota horizontal.

Resposta

Horizontal: y=0
Vertical: x=1

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