Encontre as assíntotas verticais da função f(x) dada por:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{3 x-2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^2+1}{3x-2x^2}
e pede as assíntotas verticais. Para isso vamos: (i) determinar onde o denominador se anula, (ii) verificar se há cancelamento com o numerador e (iii) analisar os limites laterais nesses pontos.

Passo 2

Determinar o domínio exigindo
3x-2x^2\neq0\quad\Longrightarrow\quad x(3-2x)\neq0
Logo
x\neq0 \quad\text{e}\quad x\neq\frac32,
ou seja, o domínio é \mathbb R\setminus\{0,\tfrac32\}.

Passo 3

Observar que x^2+1>0 para todo x, então não há fator comum entre numerador e denominador. Os pontos x=0 e x=\tfrac32 são polos sem cancelamento.

Passo 4

Analisar x\to0^\pm. Escrevendo
f(x)=\frac{x^2+1}{x(3-2x)}\approx\frac1{3x}
temos
  • Para x\to0^+: 3x\to0^+ f(x)\to+\infty.
  • Para x\to0^-: 3x\to0^- f(x)\to-\infty.
    Logo há assíntota vertical em x=0.

Passo 5

Analisar x\to(\tfrac32)^\pm. Note que x^2+1>0 e x>0. Então
  • Para x\to(\tfrac32)^-: 3-2x\to0^+ f(x)\to+\infty.
  • Para x\to(\tfrac32)^+: 3-2x\to0^- f(x)\to-\infty.
    Portanto há assíntota vertical em x=\tfrac32.

Resposta

As assíntotas verticais são x=0
e x=\tfrac32.

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