Encontre as assíntotas verticais da função f(x) dada por
f(x)=1+\frac{x+2}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais da função
f(x)=1+\frac{x+2}{x^{2}-4}.
O conteúdo é estudo de assíntotas verticais em funções racionais. Vamos precisar determinar o domínio (zeros do denominador), fatorar e simplificar, e então analisar os limites nos pontos excluídos.

Passo 2

O denominador é x^{2}-4=(x-2)(x+2), que se anula em x=2 e x=-2. Portanto o domínio de f é
\mathbb{R}\setminus\{2,\,-2\}.

Passo 3

Para ver se algum desses pontos deixa de ser assíntota (por cancelamento), escrevemos
\frac{x+2}{x^{2}-4}=\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x-2},\quad x\neq -2.
Logo, para x\neq -2,
f(x)=1+\frac{1}{x-2}.
Isso mostra que em x=-2 houve um “furo” removível (não sobra infinidade), enquanto em x=2 não há cancelamento.

Passo 4

Analisamos os limites:
\lim_{x\to2^\pm}f(x)=\lim_{x\to2^\pm}\Bigl(1+\frac{1}{x-2}\Bigr)=\pm\infty,
logo x=2 é assíntota vertical.
\lim_{x\to-2}f(x)=1+\frac{1}{-2-2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4},
valor finito, então x=-2 não gera assíntota (apenas um ponto isolado).

Resposta

A única assíntota vertical é x=2.

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