Responda as questões abaixo:
Suponha agora que f é ímpar e que \lim _{x \rightarrow 3} f(x)=7. Quando vale \lim _{x \rightarrow-3} f(x) ?

Passo 1

O enunciado diz que f é uma função ímpar e que \r \displaystyle \lim_{x\to 3}f(x)=7. \r
Queremos encontrar \displaystyle \lim_{x\to -3}f(x). \r
Para isso, vamos usar a definição de função ímpar e as propriedades de limite.

Passo 2

Por definição, f é ímpar se, para todo x, vale
f(-x) = -f(x).

Passo 3

Para calcular \displaystyle \lim_{x\to -3}f(x), fazemos a mudança de variável x=-t, de modo que t\to 3. Então
\lim_{x\to -3}f(x) = \lim_{t\to 3}f(-t).
Como f é ímpar, f(-t)=-f(t). Logo,
\lim_{t\to 3}f(-t) = \lim_{t\to 3}\bigl(-f(t)\bigr) = -\lim_{t\to 3}f(t) = -7.

Resposta

-7

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