Esboce o gráfico das seguintes funções racionais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível.
- Foi dada a função racional
definida por
- O pedido é: esboçar o gráfico de
(ou seja, desenhar uma curva que represente o comportamento da função).
Informações que vamos extrair da expressão para construir o esboço:
- domínio (valores de
permitidos); - assíntotas verticais e oblíquas (ou horizontais);
- zeros (interseções com o eixo
); - interseção com o eixo
; - limites laterais perto de assíntotas e em
; - monotonicidade e pontos críticos (para saber onde a curva sobe ou desce);
- concavidade (para saber a “curvatura” da curva);
- alguns pontos adicionais para fixar a forma.
Passo 2
Domínio e simplificação por divisão polinomial (ferramentas básicas).
- Domínio: o denominador
anula-se em . Como o numerador em vale , não há cancelamento; portanto não pertence ao domínio. Logo o domínio é
- Como o grau do numerador (
) é maior que o do denominador ( ), fazemos divisão polinomial para obter a forma mais útil para esboçar:
Explicando rapidamente a divisão: dividir
por
dá quociente
e resto
, daí a decomposição acima. Essa forma é muito útil porque separa uma linha
mais um termo racional menor
.
Passo 3
Assíntotas: vertical e oblíqua.
- Assíntota vertical: como o denominador se anula em
sem cancelamento, existe uma assíntota vertical em
Para determinar os sinais (se a função vai para
ou
ao se aproximar), vamos avaliar o sinal do termo
perto de
:
-
Para
tem , então grande; assim . -
Para
tem , então grande em módulo; assim . -
Assíntota oblíqua: a parte polinomial da divisão é
. Como o resto dividido pelo denominador tende a quando ,
Portanto existe uma assíntota oblíqua (reta-guia) dada por
Passo 4
Interceptos (zeros e interseção com eixo
).
- Zeros (onde
): resolver .
Como
não é raiz do denominador, ambos são zeros válidos. Assim a curva cruza o eixo
em
- Interseção com o eixo
(valor em ):
Logo cruza o eixo
no ponto
.
Passo 5
Comportamento em
e aproximação da assíntota oblíqua.
- Como já vimos,
e
quando
. Logo para
e
a curva se aproxima da reta
.
- Sinal relativo à reta
: - Para
muito grande positivo, é um número pequeno e negativo, então (a curva fica um pouco abaixo da reta). - Para
muito grande negativo, é pequeno positivo, então (a curva fica um pouco acima da reta).
- Para
Passo 6
Monotonicidade: derivada e interpretação (para saber se a curva sobe ou desce nos intervalos).
- Usamos a forma
. Derivando (regra da soma e potência):
Explicando: derivada de
é
. Derivada de
é
.
- Observação do sinal: para todo
tem , logo . Assim
Conclusão:
é estritamente crescente em cada um dos intervalos
e
. Não há máximos/minimos locais finitos (exceto descontinuidade em
).
Passo 7
Concavidade: segunda derivada e interpretação.
- Segunda derivada:
- Sinal:
- Para
tem então : concavidade para baixo em . - Para
tem então : concavidade para cima em .
- Para
Observação: a concavidade muda de um lado para o outro de
, mas como
não pertence ao domínio isso não é um ponto de inflexão da função (não existe ponto de inflexão finito), só uma troca de concavidade “ao redor” da assíntota vertical.
Passo 8
Pontos adicionais para fixar o esboço (amostras fáceis).
Calculemos alguns valores para guiar o desenho:
-
(já feito) — ponto alto entre os zeros. -
— ponto abaixo do eixo entre a assíntota e o zero em . -
— um ponto à esquerda que ajuda a traçar o ramo esquerdo. - Perto da assíntota, por exemplo
: , então (tende a ). Para : , então (tende a ). Esses valores mostram a explosão próxima a .
Passo 9
Interpretando tudo junto para desenhar o esboço.
Resumo das características essenciais para traçar o gráfico:
- Domínio:
. - Assíntota vertical:
. Lado esquerdo ( ) -> . Lado direito ( ) -> . - Assíntota oblíqua:
. A curva se aproxima de para (por baixo para , por cima para ). - Zeros:
e . - Interseção com
: . - Monotonicidade: crescente em
e em . - Concavidade: côncava para cima em
e côncava para baixo em . - Pontos auxiliares: por exemplo
, . - Comportamento próximo a
: explodir para à esquerda e para à direita.
Como desenhar (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e . - Trace a linha vertical tracejada em
(assíntota vertical). - Trace a reta
como guia (assíntota oblíqua). - Marque os pontos
, , , . - No intervalo
desenhe uma curva que: - venha aproximando-se da reta
por cima quando , - seja crescente e côncava para cima,
- passe por
e , - dispare para
quando se aproxima de .
- venha aproximando-se da reta
- No intervalo
desenhe uma curva que: - caia de
ao sair da assíntota em , - seja crescente e côncava para baixo,
- passe por
e por , - aproxime-se da reta
por baixo quando .
- caia de
Dica final: ao esboçar, não precisa ser perfeito: marque claramente a assíntota vertical
, a reta
, os pontos indicados e o sentido (crescente) dos ramos — isso garante pontuação na prova.
Resposta
Gráfico de
com as características:
- Domínio:
. - Assíntota vertical:
(com quando e quando ). - Assíntota oblíqua:
. - Zeros:
e . - Interseção com o eixo
: . - Monótona crescente em
e em . - Concavidade: côncava para cima em
e côncava para baixo em .