Esboce o gráfico das seguintes funções racionais:
f_{3}(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível.
  • Foi dada a função racional f_{3} definida por
f_{3}(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-1}.
  • O pedido é: esboçar o gráfico de f_{3} (ou seja, desenhar uma curva que represente o comportamento da função).
Informações que vamos extrair da expressão para construir o esboço:
  • domínio (valores de x permitidos);
  • assíntotas verticais e oblíquas (ou horizontais);
  • zeros (interseções com o eixo x);
  • interseção com o eixo y;
  • limites laterais perto de assíntotas e em \pm\infty;
  • monotonicidade e pontos críticos (para saber onde a curva sobe ou desce);
  • concavidade (para saber a “curvatura” da curva);
  • alguns pontos adicionais para fixar a forma.

Passo 2

Domínio e simplificação por divisão polinomial (ferramentas básicas).
  • Domínio: o denominador x-1 anula-se em x=1. Como o numerador em x=1 vale 1-1-6=-6\neq0, não há cancelamento; portanto x=1 não pertence ao domínio. Logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq1\}.
  • Como o grau do numerador ( 2) é maior que o do denominador ( 1), fazemos divisão polinomial para obter a forma mais útil para esboçar:
\frac{x^{2}-x-6}{x-1}=x+\frac{-6}{x-1}.
Explicando rapidamente a divisão: dividir x^{2}-x-6 por x-1 dá quociente x e resto -6, daí a decomposição acima. Essa forma é muito útil porque separa uma linha y=x mais um termo racional menor \dfrac{-6}{x-1}.

Passo 3

Assíntotas: vertical e oblíqua.
  • Assíntota vertical: como o denominador se anula em x=1 sem cancelamento, existe uma assíntota vertical em
x=1.
Para determinar os sinais (se a função vai para +\infty ou -\infty ao se aproximar), vamos avaliar o sinal do termo \dfrac{-6}{x-1} perto de x=1:
  • Para x\to1^{-} tem x-1<0, então \dfrac{-6}{x-1}>0 grande; assim f_{3}(x)\to+\infty.
  • Para x\to1^{+} tem x-1>0, então \dfrac{-6}{x-1}<0 grande em módulo; assim f_{3}(x)\to-\infty.
  • Assíntota oblíqua: a parte polinomial da divisão é x. Como o resto dividido pelo denominador tende a 0 quando |x|\to\infty,
\lim_{x\to\pm\infty}\left(f_{3}(x)-x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-6}{x-1}=0.
Portanto existe uma assíntota oblíqua (reta-guia) dada por
y=x.

Passo 4

Interceptos (zeros e interseção com eixo y).
  • Zeros (onde f_{3}(x)=0): resolver x^{2}-x-6=0.
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \text{ ou } x=-2.
Como x=1 não é raiz do denominador, ambos são zeros válidos. Assim a curva cruza o eixo x em
(3,0)\quad\text{e}\quad(-2,0).
  • Interseção com o eixo y (valor em x=0):
f_{3}(0)=\frac{0-0-6}{0-1}=\frac{-6}{-1}=6.
Logo cruza o eixo y no ponto (0,6).

Passo 5

Comportamento em \pm\infty e aproximação da assíntota oblíqua.
  • Como já vimos,
f_{3}(x)=x+\frac{-6}{x-1},
e \dfrac{-6}{x-1}\to0 quando x\to\pm\infty. Logo para x\to+\infty e x\to-\infty a curva se aproxima da reta y=x.
  • Sinal relativo à reta y=x:
    • Para x muito grande positivo, \dfrac{-6}{x-1} é um número pequeno e negativo, então f_{3}(x)<x (a curva fica um pouco abaixo da reta).
    • Para x muito grande negativo, \dfrac{-6}{x-1} é pequeno positivo, então f_{3}(x)>x (a curva fica um pouco acima da reta).

Passo 6

Monotonicidade: derivada e interpretação (para saber se a curva sobe ou desce nos intervalos).
  • Usamos a forma f_{3}(x)=x-6(x-1)^{-1}. Derivando (regra da soma e potência):
f_{3}'(x)=1+6(x-1)^{-2}.
Explicando: derivada de x é 1. Derivada de -6(x-1)^{-1} é -6\cdot(-1)(x-1)^{-2}=6(x-1)^{-2}.
  • Observação do sinal: para todo x\neq1 tem (x-1)^{2}>0, logo 6(x-1)^{-2}>0. Assim
f_{3}'(x)>0\quad\text{para todo }x\neq1.
Conclusão: f_{3} é estritamente crescente em cada um dos intervalos (-\infty,1) e (1,\infty). Não há máximos/minimos locais finitos (exceto descontinuidade em x=1).

Passo 7

Concavidade: segunda derivada e interpretação.
  • Segunda derivada:
f_{3}''(x)=-12(x-1)^{-3}=\frac{-12}{(x-1)^{3}}.
  • Sinal:
    • Para x>1 tem (x-1)^{3}>0 então f_{3}''(x)<0: concavidade para baixo em (1,\infty).
    • Para x<1 tem (x-1)^{3}<0 então f_{3}''(x)>0: concavidade para cima em (-\infty,1).
Observação: a concavidade muda de um lado para o outro de x=1, mas como x=1 não pertence ao domínio isso não é um ponto de inflexão da função (não existe ponto de inflexão finito), só uma troca de concavidade “ao redor” da assíntota vertical.

Passo 8

Pontos adicionais para fixar o esboço (amostras fáceis).
Calculemos alguns valores para guiar o desenho:
  • f_{3}(0)=6 (já feito) — ponto alto entre os zeros.
  • f_{3}(2)=\dfrac{4-2-6}{1}=\dfrac{-4}{1}=-4 — ponto abaixo do eixo x entre a assíntota e o zero em x=3.
  • f_{3}(-3)=\dfrac{9+3-6}{-4}=\dfrac{6}{-4}=-\tfrac{3}{2}=-1,5 — um ponto à esquerda que ajuda a traçar o ramo esquerdo.
  • Perto da assíntota, por exemplo x=1{,}1: \dfrac{-6}{0{,}1}\approx-60, então f_{3}(1{,}1)\approx1{,}1-60\approx-58{,}9 (tende a -\infty). Para x=0{,}9: \dfrac{-6}{-0{,}1}=60, então f_{3}(0{,}9)\approx0{,}9+60\approx60{,}9 (tende a +\infty). Esses valores mostram a explosão próxima a x=1.

Passo 9

Interpretando tudo junto para desenhar o esboço.
Resumo das características essenciais para traçar o gráfico:
  • Domínio: x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • Assíntota vertical: x=1. Lado esquerdo ( x\to1^{-} ) -> f_{3}(x)\to+\infty. Lado direito ( x\to1^{+} ) -> f_{3}(x)\to-\infty.
  • Assíntota oblíqua: y=x. A curva se aproxima de y=x para x\to\pm\infty (por baixo para x\to+\infty, por cima para x\to-\infty).
  • Zeros: (-2,0) e (3,0).
  • Interseção com y: (0,6).
  • Monotonicidade: crescente em (-\infty,1) e em (1,\infty).
  • Concavidade: côncava para cima em (-\infty,1) e côncava para baixo em (1,\infty).
  • Pontos auxiliares: por exemplo (2,-4), (-3,-1{,}5).
  • Comportamento próximo a x=1: explodir para +\infty à esquerda e para -\infty à direita.
Como desenhar (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace a linha vertical tracejada em x=1 (assíntota vertical).
  3. Trace a reta y=x como guia (assíntota oblíqua).
  4. Marque os pontos (-2,0), (3,0), (0,6), (2,-4).
  5. No intervalo (-\infty,1) desenhe uma curva que:
    • venha aproximando-se da reta y=x por cima quando x\to-\infty,
    • seja crescente e côncava para cima,
    • passe por (-2,0) e (0,6),
    • dispare para +\infty quando se aproxima de x=1^{-}.
  6. No intervalo (1,\infty) desenhe uma curva que:
    • caia de -\infty ao sair da assíntota em x=1^{+},
    • seja crescente e côncava para baixo,
    • passe por (2,-4) e por (3,0),
    • aproxime-se da reta y=x por baixo quando x\to+\infty.
Dica final: ao esboçar, não precisa ser perfeito: marque claramente a assíntota vertical x=1, a reta y=x, os pontos indicados e o sentido (crescente) dos ramos — isso garante pontuação na prova.

Resposta

Gráfico de f_{3}(x)=\dfrac{x^{2}-x-6}{x-1} com as características:
  • Domínio: x\neq1.
  • Assíntota vertical: x=1 (com f_{3}(x)\to+\infty quando x\to1^{-} e f_{3}(x)\to-\infty quando x\to1^{+}).
  • Assíntota oblíqua: y=x.
  • Zeros: (-2,0) e (3,0).
  • Interseção com o eixo y: (0,6).
  • Monótona crescente em (-\infty,1) e em (1,\infty).
  • Concavidade: côncava para cima em (-\infty,1) e côncava para baixo em (1,\infty).

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