Resolva as EDO’s utilizando Laplace e produto de convolução:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=x e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + y' - 6y = x e^{2x}
usando transformada de Laplace e produto de convolução. Vamos assumir as condições iniciais homogêneas
y(0)=0,\quad y'(0)=0
para aplicar a transformada de Laplace de forma direta.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando
\mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s),\quad \mathcal L\{y'\}=sY(s),\quad \mathcal L\{y\}=Y(s)
e
\mathcal L\{x e^{2x}\}=\frac{1}{(s-2)^2},
obtém-se
s^2Y(s)+sY(s)-6Y(s)=\frac{1}{(s-2)^2} \;\Longrightarrow\; Y(s)\,\bigl(s^2+s-6\bigr)=\frac{1}{(s-2)^2}.
Como s^2+s-6=(s+3)(s-2), temos
Y(s)=\frac{1}{(s+3)\,(s-2)^3}.

Passo 3

Repare que
\frac{1}{s+3}=\mathcal L\{e^{-3x}\}, \quad \frac{1}{(s-2)^3}=\mathcal L\Bigl\{\frac{x^2 e^{2x}}{2}\Bigr\}.
Pelo teorema do produto de convolução,
Y(s)=F(s)\,G(s) \;\Longrightarrow\; y(x)=\int_{0}^{x}f(x-t)\,g(t)\,dt
logo
y(x) =\int_{0}^{x}e^{-3(x-t)}\;\frac{t^2 e^{2t}}{2}\,dt =\frac{1}{2}\,e^{-3x}\int_{0}^{x}t^2\,e^{5t}\,dt.

Passo 4

Falta calcular a integral
I(x)=\int_{0}^{x}t^2 e^{5t}\,dt.
Por integração por partes (ou usando fórmula conhecida), chega-se a
I(x) =\left[e^{5t}\Bigl(\frac{t^2}{5}-\frac{2t}{25}+\frac{2}{125}\Bigr)\right]_{0}^{x} =e^{5x}\Bigl(\frac{x^2}{5}-\frac{2x}{25}+\frac{2}{125}\Bigr)-\frac{2}{125}.
Logo
y(x) =\frac{1}{2}e^{-3x}\Biggl(e^{5x}\Bigl(\frac{x^2}{5}-\frac{2x}{25}+\frac{2}{125}\Bigr)-\frac{2}{125}\Biggr).

Passo 5

Distribuindo e simplificando,
y(x) =e^{2x}\Bigl(\tfrac{1}{10}x^2-\tfrac{1}{25}x+\tfrac{1}{125}\Bigr)\;-\;\frac{1}{125}e^{-3x}.

Resposta

y(x) =-\frac{1}{125}e^{-3x} +\Bigl(\frac{1}{125}-\frac{x}{25}+\frac{x^2}{10}\Bigr)e^{2x}.

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