Encontre as assíntotas verticais e horizontais, usando limites, da seguinte função:
f(x)=(2-x) /(4-x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) = 2 - x4 - x^2 . Isso faz parte do estudo de funções racionais na matemática, onde usamos limites para identificar esses comportamentos da função conforme x se aproxima de certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração se aproxima de zero, porque a função tende a infinito nessas regiões. Então, vamos resolver a equação 4 - x^2 = 0 .

Passo 3

Resolvendo 4 - x^2 = 0 , temos:
x^2 = 4 implies x = pm 2
Então, as possíveis assíntotas verticais estão em x = 2 e x = -2 .

Passo 4

Agora, vamos verificar se essas assíntotas são reais, ou seja, se o numerador não também se anula nesses pontos. Substituindo x = 2 no numerador:
2 - 2 = 0
Como o numerador também é zero, precisamos analisar mais a fundo. Para x = -2 :
2 - (-2) = 4 neq 0
Então, a única assíntota vertical é em x = -2 .

Passo 5

Vamos agora encontrar a assíntota horizontal. Isso é feito analisando o limite da função quando x tende a infty ou -infty .
Nossa função é f(x) = 2 - x4 - x^2 . Observando os termos de maior grau no numerador e no denominador, que são -x e -x^2 , respectivamente.

Passo 6

Para encontrar o limite, dividimos os termos de maior grau:
limx to infty -x-x^2 = limx to infty 1x = 0
E de maneira semelhante para x to -infty :
limx to -infty -x-x^2 = limx to -infty 1x = 0
Então, a assíntota horizontal é y = 0 .

Resposta

A função f(x) = 2 - x4 - x^2 tem uma assíntota vertical em x = -2 e uma assíntota horizontal em y = 0 .

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