Encontre as assíntotas verticais e horizontais, usando limites, da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
. Isso faz parte do estudo de funções racionais na matemática, onde usamos limites para identificar esses comportamentos da função conforme
se aproxima de certos valores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração se aproxima de zero, porque a função tende a infinito nessas regiões. Então, vamos resolver a equação
.
Passo 3
Resolvendo
, temos:
Então, as possíveis assíntotas verticais estão em
e
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se essas assíntotas são reais, ou seja, se o numerador não também se anula nesses pontos. Substituindo
no numerador:
Como o numerador também é zero, precisamos analisar mais a fundo. Para
:
Então, a única assíntota vertical é em
.
Passo 5
Vamos agora encontrar a assíntota horizontal. Isso é feito analisando o limite da função quando
tende a
ou
.
Nossa função é
. Observando os termos de maior grau no numerador e no denominador, que são
e
, respectivamente.
Passo 6
Para encontrar o limite, dividimos os termos de maior grau:
E de maneira semelhante para
:
Então, a assíntota horizontal é
.
Resposta
A função
tem uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.