A receita diûÀria de vendas de um produto ûˋ R(x)=50 x-3 x^2 e seu custo total ûˋ C(x)=2 x^3-12 x^2+50 x+40. Obtenha a quantidade x que deve ser vendida para maximizar o lucro diûÀrio. Mostre que para este valor, o custo marginal ûˋ igual û  receita marginal. Resp: 3 unidades.

Passo 1

O enunciado nos dá a receita diária de vendas
R(x)=50x-3x^2
e o custo total
C(x)=2x^3-12x^2+50x+40
Queremos achar a quantidade x que maximiza o lucro diário. Para isso, definimos a função lucro
P(x)=R(x)-C(x),
e usamos derivadas para encontrar seu máximo.

Passo 2

Calculamos as derivadas de R, C e P. A receita marginal é
R'(x)=ddxl(50x-3x^2r)=50-6x,
o custo marginal é
C'(x)=ddxl(2x^3-12x^2+50x+40r)=6x^2-24x+50,
e logo
P'(x)=R'(x)-C'(x)=(50-6x)-(6x^2-24x+50)

Passo 3

Impondo a condição de extremo P'(x)=0, obtemos
50-6x - l(6x^2-24x+50r)=0 Longrightarrow -6x -6x^2+24x=0 Longrightarrow 6x(x-3)=0
As soluções são x=0 e x=3.

Passo 4

Para decidir qual delas maximiza P, usamos a segunda derivada:
P''(x)=ddxl(R'(x)-C'(x)r)=(-6)-(12x-24)=-12x+18
Em x=3 vem P''(3)=-12cdot3+18=-18<0, indicando máximo local. Em x=0 teríamos P''(0)=18>0, mínimo local. Logo, o máximo do lucro ocorre em x=3.

Passo 5

Note que a condição P'(3)=0 é justamente
R'(3)=C'(3)
De fato,
R'(3)=50-6cdot3=32, C'(3)=6cdot3^2-24cdot3+50=54-72+50=32,
ou seja, custo marginal igual à receita marginal em x=3.

Resposta

A quantidade que maximiza o lucro diário é 3 unidades.

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