A receita diûÀria de vendas de um produto ûˋ
e seu custo total ûˋ
. Obtenha a quantidade
que deve ser vendida para maximizar o lucro diûÀrio. Mostre que para este valor, o custo marginal ûˋ igual û receita marginal. Resp: 3 unidades.
Passo 1
O enunciado nos dá a receita diária de vendas
e o custo total
Queremos achar a quantidade
que maximiza o lucro diário. Para isso, definimos a função lucro
e usamos derivadas para encontrar seu máximo.
Passo 2
Calculamos as derivadas de
,
e
. A receita marginal é
o custo marginal é
e logo
Passo 3
Impondo a condição de extremo
, obtemos
As soluções são
e
.
Passo 4
Para decidir qual delas maximiza
, usamos a segunda derivada:
Em
vem
, indicando máximo local. Em
teríamos
, mínimo local. Logo, o máximo do lucro ocorre em
.
Passo 5
Note que a condição
é justamente
De fato,
ou seja, custo marginal igual à receita marginal em
.
Resposta
A quantidade que maximiza o lucro diário é
unidades.