Encontre, através do método de separação de variáveis, uma solução para o seguinte problema ( conhecido por problema da condução do calor).
lll ut-ux x=0 & em & Omega u(x, 0)=f(x), & para & 0<x<L u(0, t)=u(L, t)=0 & &
em que Omega representa a região do plano (x, t) determinada por 0<x<L e t>0 e f:[0, L] longrightarrow R uma função conhecida.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor
ut-uxx=0, 0<x<L,;t>0,
com condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0 e condição inicial u(x,0)=f(x). O método de separação de variáveis consiste em assumir u(x,t)=X(x),T(t), converter a PDE em dois EDOs acopladas por uma constante de separação e depois usar superposição para satisfazer a condição inicial.

Passo 2

Assumimos
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na PDE temos
X(x),T'(t)-X''(x),T(t)=0 ;Longrightarrow; T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=constante
Chamamos essa constante de -lambda.

Passo 3

Obtemos dois problemas de valor de contorno:
X''(x)+lambda,X(x)=0, X(0)=0,;X(L)=0,
T'(t)+lambda,T(t)=0
O sinal “ +lambda” em X garante espectro discreto.

Passo 4

O problema em X só tem solução não trivial para
lambdan=l(tfracnpiLr)^2, n=1,2,3,dots
com autofunções
Xn(x)=sin!l(tfracnpiLxr)
Para T vem
Tn(t)=e^-lambdan,t =e^-(npi/L)^2,t

Passo 5

Pela linearidade, a solução geral é série
u(x,t) =sumn=1^inftyAn,e^-(npi/L)^2,t, sin!l(tfracnpiLxr)
Na condição inicial t=0 deve valer
f(x)=u(x,0) =sumn=1^inftyAn, sin!l(tfracnpiLxr),
que é a expansão de f em senos.

Passo 6

Os coeficientes An vêm da ortogonalidade das senóides:
An =2L integral0^Lf(s), sin!l(tfracnpiLsr),ds

Resposta

boxed u(x,t) =sumn=1^infty gl[ 2L integral0^Lf(s), sin!l(tfracnpiLsr),ds gr] e^-(npi/L)^2,t , sin!l(tfracnpiLxr)

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