Exercício 0.7. Seja P_{2}(\mathbb{R}) o espaço vetorial dos polinômios de grau \leq 2.
a) Mostre que \alpha=\left\{1-x+2 x^{2}, x-x^{2}, x^{2}\right\} e \beta=\left\{2,1-x, 1+x^{2}\right\} são bases de P_{2}(\mathbb{R}).
b) Determine [I]_{\beta}^{\alpha}.
c) Seja P(x) \in P_{2}(\mathbb{R}) cujas coordenadas na base \beta são [p(x)]_{\beta}=\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right]. Determine [p(x)]_{\alpha}.
Passo 1
O enunciado trata do espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}) dos polinômios de grau \le2 e pede:
a) mostrar que \alpha=\{1 - x + 2x^{2},\,x - x^{2},\,x^{2}\} e \beta=\{2,\,1 - x,\,1 + x^{2}\} são bases;
b) determinar a matriz de mudança de base [I]_{\beta}^{\alpha};
c) dada a coordenada de p(x) em \beta, encontrar sua coordenada em \alpha.
Vamos usar como critério para bases a independência linear (ou determinante não nulo na base canônica \{1,x,x^{2}\}), depois resolver sistemas para expressar vetores de uma base na outra.
Passo 2
Verificamos que \alpha é base.
Na base canônica \{1,x,x^{2}\}, as colunas da matriz de \alpha são