Exercício 0.7. Seja P_{2}(\mathbb{R}) o espaço vetorial dos polinômios de grau \leq 2.
a) Mostre que \alpha=\left\{1-x+2 x^{2}, x-x^{2}, x^{2}\right\} e \beta=\left\{2,1-x, 1+x^{2}\right\} são bases de P_{2}(\mathbb{R}).
b) Determine [I]_{\beta}^{\alpha}.
c) Seja P(x) \in P_{2}(\mathbb{R}) cujas coordenadas na base \beta são [p(x)]_{\beta}=\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right]. Determine [p(x)]_{\alpha}.

Passo 1

O enunciado trata do espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}) dos polinômios de grau \le2 e pede:
a) mostrar que \alpha=\{1 - x + 2x^{2},\,x - x^{2},\,x^{2}\} e \beta=\{2,\,1 - x,\,1 + x^{2}\} são bases;
b) determinar a matriz de mudança de base [I]_{\beta}^{\alpha};
c) dada a coordenada de p(x) em \beta, encontrar sua coordenada em \alpha.
Vamos usar como critério para bases a independência linear (ou determinante não nulo na base canônica \{1,x,x^{2}\}), depois resolver sistemas para expressar vetores de uma base na outra.

Passo 2

Verificamos que \alpha é base.
Na base canônica \{1,x,x^{2}\}, as colunas da matriz de \alpha são
C_{\alpha}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1&1&0\\\\ 2&-1&1 \end{pmatrix}.
Como
\det(C_{\alpha})=1\cdot1\cdot1=1\neq0,
os vectores de \alpha são independentes e como são três em P_{2}, formam base.

Passo 3

Verificamos que \beta é base.
Na base canônica, as colunas da matriz de \beta são
C_{\beta}=\begin{pmatrix} 2&1&1\\\\ 0&-1&0\\\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.
Como
\det(C_{\beta})=2\cdot(-1)\cdot1=-2\neq0,
os vectores de \beta também são independentes e formam base.

Passo 4

Para obter [I]_{\beta}^{\alpha}, lembramos que suas colunas são as coordenadas de cada vetor de \beta na base \alpha. Deve-se resolver, para cada j,
a_j\,(1 - x + 2x^{2})+b_j\,(x - x^{2})+c_j\,(x^{2})=\beta_{j}.

Passo 5

Resolvendo:
  1. Para \beta_{1}=2:
    a(1 - x + 2x^{2})+b(x - x^{2})+c\,x^{2}=2
    igualando coeficientes:
a=2,\quad -a+b=0\implies b=2,\quad 2a-b+c=0\implies c=-2.
Coluna 1: \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}.
  1. Para \beta_{2}=1 - x:
a=1,\quad -a+b=-1\implies b=0,\quad 2a-b+c=0\implies c=-2.
Coluna 2: \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix}.
  1. Para \beta_{3}=1 + x^{2}:
a=1,\quad -a+b=0\implies b=1,\quad 2a-b+c=1\implies c=0.
Coluna 3: \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 6

Portanto
[I]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 2&1&1\\\\ 2&0&1\\\\ -2&-2&0 \end{pmatrix}.

Passo 7

Para p(x) com [p]_{\beta}=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}, escreve-se
p(x)=0\cdot2+(-1)\,(1-x)+1\,(1+x^{2})=x+x^{2}.

Passo 8

As coordenadas de p em \alpha obtêm‐se multiplicando
[p]_{\alpha}=[I]_{\beta}^{\alpha}\,[p]_{\beta} =\begin{pmatrix} 2&1&1\\\\ 2&0&1\\\\ -2&-2&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.

Resposta

a) \alpha e \beta são bases de P_{2}(\mathbb{R}) pois seus determinantes na base canônica são não nulos.
b)
[I]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 2&1&1\\\\ 2&0&1\\\\ -2&-2&0 \end{pmatrix}.
c) [p(x)]_{\alpha}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.

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