Seja a>1 um inteiro composto. Mostre que a tem um divisor primo p tal que 0<p <= raiza.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a>1 é inteiro composto, então existe um divisor primo p de a tal que
0 < p <= raiza
O conteúdo usado será o Teorema Fundamental da Aritmética (TFA): todo inteiro maior que 1 se escreve de forma única, salvo ordem, como produto de números primos.

Passo 2

Pelo TFA, como a é composto, há pelo menos dois fatores primos em sua decomposição; ou seja, existem primos p1,p2,dots,pr com r>=2 tais que
a = p1 p2 cdots pr
Seja p = minp1,p2,dots,pr. Então p é um divisor primo de a.

Passo 3

Como há pelo menos dois fatores, podemos agrupar
a = p cdot (p2 p3 cdots pr)
Cada um dos fatores p2,p3,dots,pr é maior ou igual a p, logo
p2 p3 cdots pr ;>=; p Longrightarrow a ;=; pcdot(p2cdots pr);>=;p^2
Isto implica p^2 <= a, ou seja,
p <= raiza

Resposta

O menor divisor primo p de a satisfaz p <= raiza, como queríamos demonstrar.

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