Seja
um inteiro composto. Mostre que
tem um divisor primo
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é inteiro composto, então existe um divisor primo
de
tal que
O conteúdo usado será o Teorema Fundamental da Aritmética (TFA): todo inteiro maior que 1 se escreve de forma única, salvo ordem, como produto de números primos.
Passo 2
Pelo TFA, como
é composto, há pelo menos dois fatores primos em sua decomposição; ou seja, existem primos
com
tais que
Seja
. Então
é um divisor primo de
.
Passo 3
Como há pelo menos dois fatores, podemos agrupar
Cada um dos fatores
é maior ou igual a
, logo
Isto implica
, ou seja,
Resposta
O menor divisor primo
de
satisfaz
, como queríamos demonstrar.