Encontre os autovalores, os autoespaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P2(R) longrightarrow P2(R), T(p(x))=p(x)+x p^prime(x)+p^prime prime(x) ; (Maria Yasmin)

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear
Tcolon P2(R) to P2(R), Tl(p(x)r)=p(x)+x,p'(x)+p''(x)
encontrar seus autovalores, os autoespaços associados, calcular as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, por fim, decidir se T é diagonalizável. Vamos usar como base canônica do espaço 1,x,x^2 e aplicar definições de autovalores, autoespaços e conta de dimensões.

Passo 2

Seja p(x)=a + b,x + c,x^2. Então
p'(x)=b+2c,x, p''(x)=2c,
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x,p'(x)=b,x+2c,x^2
Somando tudo em T(p)
T(p)(x)=l(a + b,x + c,x^2r)+l(b,x+2c,x^2r)+2c =(a+2c)+2b,x+3c,x^2

Passo 3

Na base 1,x,x^2, a ação de T em (a,b,c) é
T(a,b,c)=(,a+2c,;2b,;3c,),
isto é, a matriz de T é
[T]= 1 & 0 & 2 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3

Passo 4

Os autovalores aparecem na diagonal da matriz triangular, portanto
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3
Cada um deles tem multiplicidade algébrica igual a 1 (aparece uma vez na diagonal).

Passo 5

Encontrar os autoespaços [E_{\lambda}=\ker(T-\lambda I)):
  1. Para :
    Logo (a] livre e
  2. Para :
    Assim
  3. Para :
    Logo
Cada autoespaço tem dimensão , igual à multiplicidade algébrica, logo as multiplicidades geométrica de também são .

Passo 6

Como a soma das dimensões dos autoespaços é
dim E1+dim E2+dim E3=1+1+1=3
igual à dimensão de P2(R), concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

Autovalores:
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3
Autoespaços:
E1=span1, E2=spanx, E3=span1+x^2
Multiplicidades algébrica e geométrica de cada lambda são iguais a 1.
Conclusão: T é diagonalizável.

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