Encontre os autovalores, os autoespaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis. (Maria Yasmin)
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear
encontrar seus autovalores, os autoespaços associados, calcular as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, por fim, decidir se é diagonalizável. Vamos usar como base canônica do espaço e aplicar definições de autovalores, autoespaços e conta de dimensões.
Passo 2
Seja . Então
logo
Somando tudo em dá
Passo 3
Na base , a ação de em é
isto é, a matriz de é
Passo 4
Os autovalores aparecem na diagonal da matriz triangular, portanto
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3
Cada um deles tem multiplicidade algébrica igual a 1 (aparece uma vez na diagonal).
Passo 5
Encontrar os autoespaços [E_{\lambda}=\ker(T-\lambda I)):
Para :
Logo (a] livre e
Para :
Assim
Para :
Logo
Cada autoespaço tem dimensão , igual à multiplicidade algébrica, logo as multiplicidades geométrica de também são .
Passo 6
Como a soma das dimensões dos autoespaços é
dim E1+dim E2+dim E3=1+1+1=3
igual à dimensão de P2(R), concluímos que T é diagonalizável.
Resposta
Autovalores: lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3
Autoespaços:
E1=span1, E2=spanx, E3=span1+x^2
Multiplicidades algébrica e geométrica de cada lambda são iguais a 1.