Sejam A e B matrizes ortogonais. Prove que:
A^T também é uma matriz ortogonal.

Passo 1

Então, a gente tem duas matrizes, A e B , que são ortogonais. O objetivo aqui é provar que a transposta de A , que é A^T , também é uma matriz ortogonal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como a transposta de uma matriz funciona. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz M é dita ortogonal se ela satisfaz a condição:
M cdot M^T = M^T cdot M = I
onde M^T é a transposta de M e I é a matriz identidade (uma matriz com 1s na diagonal principal e 0s nas outras posições). Basicamente, isso significa que a matriz multiplicada pela sua transposta resulta na identidade.

Passo 3

Agora, vamos focar na matriz A . Sabemos que A é ortogonal, então pela definição:
A cdot A^T = I
Isso quer dizer que multiplicar A pela sua transposta dá a identidade.

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que A^T também é uma matriz ortogonal. Para isso, precisamos verificar se:
A^T cdot (A^T)^T = I
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Primeiro, observe que a transposta da transposta de A é a própria matriz A :
(A^T)^T = A
Então, substituindo na expressão:
A^T cdot A = I

Passo 6

Mas, lembrando da propriedade da matriz ortogonal A :
A cdot A^T = I
Como a multiplicação de matrizes não é necessariamente comutativa, mas aqui conseguimos mostrar que:
A^T cdot A = I
Isso satisfaz a condição para que A^T seja uma matriz ortogonal.

Resposta

Portanto, A^T também é uma matriz ortogonal.

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