Sejam
e
matrizes ortogonais. Prove que:
também é uma matriz ortogonal.
Passo 1
Então, a gente tem duas matrizes,
e
, que são ortogonais. O objetivo aqui é provar que a transposta de
, que é
, também é uma matriz ortogonal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como a transposta de uma matriz funciona. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz
é dita ortogonal se ela satisfaz a condição:
onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade (uma matriz com 1s na diagonal principal e 0s nas outras posições). Basicamente, isso significa que a matriz multiplicada pela sua transposta resulta na identidade.
Passo 3
Agora, vamos focar na matriz
. Sabemos que
é ortogonal, então pela definição:
Isso quer dizer que multiplicar
pela sua transposta dá a identidade.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que
também é uma matriz ortogonal. Para isso, precisamos verificar se:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 5
Primeiro, observe que a transposta da transposta de
é a própria matriz
:
Então, substituindo na expressão:
Passo 6
Mas, lembrando da propriedade da matriz ortogonal
:
Como a multiplicação de matrizes não é necessariamente comutativa, mas aqui conseguimos mostrar que:
Isso satisfaz a condição para que
seja uma matriz ortogonal.
Resposta
Portanto,
também é uma matriz ortogonal.