Encontre os autovalores e autofunções do problema de valor de contorno:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+\lambda y=0 \\ y^{\prime}(0)=0 \\ y(2)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e as autofunções do problema de valor de contorno dado por
y''+\lambda y=0
com as condições de contorno
y'(0)=0,\qquad y(2)=0.
Informações relevantes que temos:
  • A equação diferencial é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e depende do parâmetro \lambda.
  • Queremos encontrar os valores de \lambda (autovalores) para os quais existem soluções não-triviais y(x) satisfazendo ambas as condições de contorno, e essas soluções não-triviais são as autofunções.
  • Devemos considerar os três casos possíveis para \lambda: \lambda=0, \lambda<0 e \lambda>0. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Por que separar em casos? Porque a forma da solução geral da equação
y''+\lambda y=0
depende do sinal de \lambda: as raízes da equação característica são diferentes se \lambda é positivo, zero ou negativo. Vou explicar rapidamente como obter a solução geral em cada caso — passo a passo, sem pular nada.
Regra geral: para a equação y''+\lambda y=0 procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+\lambda=0.
As raízes são r=\pm i\sqrt{\lambda} se \lambda>0, r=0 (dupla) se \lambda=0, e r=\pm\sqrt{-\lambda} se \lambda<0. Cada situação dá uma forma distinta da solução geral:
  • Se \lambda>0: y(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x) com \mu=\sqrt{\lambda}.
  • Se \lambda=0: y(x)=Ax+B.
  • Se \lambda<0: escrevendo \lambda=-\alpha^2 com \alpha>0, a solução é y(x)=C\operatorname{cosh}(\alpha x)+D\operatorname{sinh}(\alpha x).
Agora aplicamos as condições de contorno em cada caso para ver se existem soluções não-triviais.

Passo 3

Caso \lambda=0.
A equação vira y''=0. A solução geral é
y(x)=Ax+B,
com A,B constantes. Aplicando a condição y'(0)=0 temos y'(x)=A, então
y'(0)=A=0.
Logo A=0 e y(x)=B. Agora impomos y(2)=0, isto é B=0. Assim a única solução é y\equiv0 (trivial). Conclusão: \lambda=0 não é autovalor porque não gera solução não-trivial.

Passo 4

Caso \lambda<0. Escrevemos \lambda=-\alpha^2 com \alpha>0. A solução geral é
y(x)=C\operatorname{cosh}(\alpha x)+D\operatorname{sinh}(\alpha x).
A derivada é
y'(x)=C\alpha\operatorname{sinh}(\alpha x)+D\alpha\operatorname{cosh}(\alpha x).
Impondo y'(0)=0 temos
y'(0)=C\alpha\cdot 0 + D\alpha\cdot 1 = D\alpha = 0,
logo D=0. Então y(x)=C\operatorname{cosh}(\alpha x). Agora y(2)=C\operatorname{cosh}(2\alpha)=0. Mas \operatorname{cosh}(2\alpha)>0 para todo \alpha>0, logo a única possibilidade é C=0. Isso dá novamente apenas a solução trivial. Conclusão: não há autovalores negativos.

Passo 5

Caso \lambda>0. Escrevemos \lambda=\mu^2 com \mu>0. A solução geral é
y(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x).
A derivada é
y'(x)=-A\mu\sin(\mu x)+B\mu\cos(\mu x).
Vamos aplicar as condições de contorno passo a passo.

Passo 6

Impondo y'(0)=0. Substituindo x=0 em y'(x) obtemos
y'(0)=-A\mu\sin(0)+B\mu\cos(0)=0 + B\mu\cdot 1 = B\mu.
Como \mu>0, isso implica B\mu=0\Rightarrow B=0. Assim, para ter y'(0)=0 devemos ter B=0. A solução reduz para
y(x)=A\cos(\mu x).

Passo 7

Agora impomos y(2)=0. Com y(x)=A\cos(\mu x) temos
y(2)=A\cos(2\mu)=0.
Procuramos soluções não-triviais, então queremos A\neq 0. Para isso é necessário e suficiente que
\cos(2\mu)=0.
Quando a função cosseno vale zero? Sabemos que \cos(\theta)=0 exatamente quando
\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi=\frac{(2n+1)\pi}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.
Aplicando com \theta=2\mu obtemos
2\mu=\frac{(2n+1)\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \mu=\frac{(2n+1)\pi}{4}.
Como \mu>0, podemos tomar n=0,1,2,\dots. Para cada n obtemos um \mu válido.

Passo 8

Agora traduzimos \mu em \lambda e escrevemos as autofunções.
Como \lambda=\mu^2, os autovalores são
\lambda_n=\mu^2=\left(\frac{(2n+1)\pi}{4}\right)^2=\frac{(2n+1)^2\pi^2}{16},\qquad n=0,1,2,\dots
As autofunções correspondentes (não-normalizadas, multiplicadas por uma constante arbitrária A) são
y_n(x)=A\cos\!\left(\frac{(2n+1)\pi}{4}\,x\right),\qquad n=0,1,2,\dots
(é comum escolher A=1 ou escolher A de modo que \|y_n\|_{L^2(0,2)}=1; a constante multiplicativa não altera o fato de ser autofunção.)

Passo 9

Resumo do que aconteceu (curtinho e motivador): \lambda=0 e \lambda<0 deram somente a solução trivial, então os únicos autovalores são positivos e vêm da condição \cos(2\mu)=0. Cada autovalor \lambda_n tem uma autofunção proporcional a \cos\!\big(\tfrac{(2n+1)\pi}{4}x\big). Tá feito — você pode decorar a forma \mu=(2n+1)\pi/4 ou lembrar: Neumann em 0 força derivada zero, que elimina o seno, e Dirichlet em 2 força o cosseno zerar em x=2.

Resposta

\lambda_n=\frac{(2n+1)^2\pi^2}{16},\qquad n=0,1,2,\dots
y_n(x)=C\cos\!\left(\frac{(2n+1)\pi}{4}\,x\right),\qquad n=0,1,2,\dots,
onde C é uma constante arbitrária (não nula) de normalização.

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