O enunciado pede para encontrar os autovalores e as autofunções do problema de valor de contorno dado por
y''+\lambda y=0
com as condições de contorno
y'(0)=0,\qquad y(2)=0.
Informações relevantes que temos:
A equação diferencial é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e depende do parâmetro \lambda.
Queremos encontrar os valores de \lambda (autovalores) para os quais existem soluções não-triviais y(x) satisfazendo ambas as condições de contorno, e essas soluções não-triviais são as autofunções.
Devemos considerar os três casos possíveis para \lambda: \lambda=0, \lambda<0 e \lambda>0. A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Por que separar em casos? Porque a forma da solução geral da equação
y''+\lambda y=0
depende do sinal de \lambda: as raízes da equação característica são diferentes se \lambda é positivo, zero ou negativo. Vou explicar rapidamente como obter a solução geral em cada caso — passo a passo, sem pular nada.
Regra geral: para a equação y''+\lambda y=0 procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+\lambda=0.
As raízes são r=\pm i\sqrt{\lambda} se \lambda>0, r=0 (dupla) se \lambda=0, e r=\pm\sqrt{-\lambda} se \lambda<0. Cada situação dá uma forma distinta da solução geral:
Se \lambda>0: y(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x) com \mu=\sqrt{\lambda}.
Se \lambda=0: y(x)=Ax+B.
Se \lambda<0: escrevendo \lambda=-\alpha^2 com \alpha>0, a solução é y(x)=C\operatorname{cosh}(\alpha x)+D\operatorname{sinh}(\alpha x).
Agora aplicamos as condições de contorno em cada caso para ver se existem soluções não-triviais.
Passo 3
Caso \lambda=0.
A equação vira y''=0. A solução geral é
y(x)=Ax+B,
com A,B constantes. Aplicando a condição y'(0)=0 temos y'(x)=A, então
y'(0)=A=0.
Logo A=0 e y(x)=B. Agora impomos y(2)=0, isto é B=0. Assim a única solução é y\equiv0 (trivial). Conclusão: \lambda=0 não é autovalor porque não gera solução não-trivial.
Passo 4
Caso \lambda<0. Escrevemos \lambda=-\alpha^2 com \alpha>0. A solução geral é
logo D=0. Então y(x)=C\operatorname{cosh}(\alpha x). Agora y(2)=C\operatorname{cosh}(2\alpha)=0. Mas \operatorname{cosh}(2\alpha)>0 para todo \alpha>0, logo a única possibilidade é C=0. Isso dá novamente apenas a solução trivial. Conclusão: não há autovalores negativos.
Passo 5
Caso \lambda>0. Escrevemos \lambda=\mu^2 com \mu>0. A solução geral é
y(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x).
A derivada é
y'(x)=-A\mu\sin(\mu x)+B\mu\cos(\mu x).
Vamos aplicar as condições de contorno passo a passo.
Passo 6
Impondo y'(0)=0. Substituindo x=0 em y'(x) obtemos
(é comum escolher A=1 ou escolher A de modo que \|y_n\|_{L^2(0,2)}=1; a constante multiplicativa não altera o fato de ser autofunção.)
Passo 9
Resumo do que aconteceu (curtinho e motivador): \lambda=0 e \lambda<0 deram somente a solução trivial, então os únicos autovalores são positivos e vêm da condição \cos(2\mu)=0. Cada autovalor \lambda_n tem uma autofunção proporcional a \cos\!\big(\tfrac{(2n+1)\pi}{4}x\big). Tá feito — você pode decorar a forma \mu=(2n+1)\pi/4 ou lembrar: Neumann em 0 força derivada zero, que elimina o seno, e Dirichlet em 2 força o cosseno zerar em x=2.