Sabe-se que u(x, t)=e^{-n^{2} \pi^{2} \alpha^{2} t / L^{2}} \operatorname{sen}(n \pi x / L), n=1,2, \cdots é solução de um problema com condição inicial
u(x, 0)=\operatorname{sen}(n \pi x / L)
Resolva o mesmo problema, com \alpha=1, L=3 e condição inicial
Pede-se resolver “o mesmo problema” com os parâmetros \alpha=1 e L=3 e com condição inicial
u(x,0)=5\sin(\pi x)-3.
Informações relevantes fornecidas:
A forma das soluções para modos \sin(n\pi x/L); aqui, com L=3, os modos são \sin(n\pi x/3).
A nova condição inicial é a soma de 5\sin(\pi x) e da função constante -3.
A equação é linear (a partir da família de soluções dada), então podemos usar superposição e expandir a condição inicial na base \{\sin(n\pi x/3)\}_{n\ge1} (série de senos) para obter a solução por soma dos modos.
Passo 2
Estratégia escolhida (por que funciona): usar superposição linear e a expansão da condição inicial em série de senos na base [\sin(n\pi x/3)). Isso é natural porque cada modo \sin(n\pi x/3) evolui no tempo multiplicado por e^{-n^{2}\pi^{2}t/3^{2}}. Vamos calcular os coeficientes da série de Fourier-seno da função inicial e então multiplicar cada coeficiente pelo decaimento temporal correspondente.
Regra útil (ortogonalidade dos senos): para m,n\in\mathbb{N},
onde os coeficientes c_n são os encontrados no passo anterior. Para clareza podemos separar o termo n=3 e escrever explicitamente a soma sobre ímpares:
Essa expressão é totalmente equivalente à escrita única em série \sum_{n=1}^{\infty} c_n e^{-n^{2}\pi^{2}t/9}\sin(n\pi x/3) com os c_n acima; ao tomar t=0 recuperamos 5\sin(\pi x)-3 (por construção dos coeficientes).