Sabe-se que u(x, t)=e^{-n^{2} \pi^{2} \alpha^{2} t / L^{2}} \operatorname{sen}(n \pi x / L), n=1,2, \cdots é solução de um problema com condição inicial
u(x, 0)=\operatorname{sen}(n \pi x / L)
Resolva o mesmo problema, com \alpha=1, L=3 e condição inicial
u(x, 0)=5 \operatorname{sen}(\pi x)-3

Passo 1

O enunciado dá uma família de soluções
u(x,t)=e^{-n^{2}\pi^{2}\alpha^{2}t/L^{2}}\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr),\quad n=1,2,\dots,
que corresponde a problemas com condição inicial
u(x,0)=\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr).
Pede-se resolver “o mesmo problema” com os parâmetros \alpha=1 e L=3 e com condição inicial
u(x,0)=5\sin(\pi x)-3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A forma das soluções para modos \sin(n\pi x/L); aqui, com L=3, os modos são \sin(n\pi x/3).
  • A nova condição inicial é a soma de 5\sin(\pi x) e da função constante -3.
  • A equação é linear (a partir da família de soluções dada), então podemos usar superposição e expandir a condição inicial na base \{\sin(n\pi x/3)\}_{n\ge1} (série de senos) para obter a solução por soma dos modos.

Passo 2

Estratégia escolhida (por que funciona): usar superposição linear e a expansão da condição inicial em série de senos na base [\sin(n\pi x/3)). Isso é natural porque cada modo \sin(n\pi x/3) evolui no tempo multiplicado por e^{-n^{2}\pi^{2}t/3^{2}}. Vamos calcular os coeficientes da série de Fourier-seno da função inicial e então multiplicar cada coeficiente pelo decaimento temporal correspondente.
Regra útil (ortogonalidade dos senos): para m,n\in\mathbb{N},
\int_{0}^{3}\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\sin\!\bigl(m\pi x/3\bigr)\,dx=\begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \displaystyle \frac{3}{2},& n=m. \end{cases}
Isto nos permite obter o coeficiente (c_n] da série de senos pela fórmula
c_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}u(x,0)\,\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\,dx.]

Passo 3

Calcular c_n para a condição inicial u(x,0)=5\sin(\pi x)-3. Observação: \sin(\pi x)=\sin(3\pi x/3), ou seja, é o modo com n=3.
Aplicando a fórmula dos coeficientes,
c_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}\bigl(5\sin(\pi x)-3\bigr)\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\,dx.
Separe em duas integrais:
c_n=\frac{2}{3}\left(5\int_{0}^{3}\sin(\pi x)\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\,dx \;-\;3\int_{0}^{3}\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\,dx\right).
  1. Primeiro termo (produto de senos). Pela ortogonalidade, quando n\neq 3 teremos
\int_{0}^{3}\sin(\pi x)\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\,dx=0,
e quando n=3,
\int_{0}^{3}\sin^{2}(\pi x)\,dx=\frac{3}{2}.
Logo a contribuição do primeiro termo é
\frac{2}{3}\cdot 5\cdot \frac{3}{2}=5
apenas para n=3; para n\neq3 essa contribuição é 0.
  1. Segundo termo (integral do seno simples). Calcule
I_n:=\int_{0}^{3}\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\,dx.
Integral direta:
I_n=\left[-\frac{3}{n\pi}\cos\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\right]_{0}^{3} =-\frac{3}{n\pi}\bigl(\cos(n\pi)-\cos 0\bigr) =-\frac{3}{n\pi}\bigl((-1)^{n}-1\bigr).
Multiplicando pelo fator \frac{2}{3}\cdot(-3) do coeficiente temos a contribuição inteira do segundo termo:
\frac{2}{3}\cdot(-3)\cdot I_n = -2\cdot I_n = -2\cdot\left(-\frac{3}{n\pi}\bigl((-1)^{n}-1\bigr)\right) =\frac{6}{n\pi}\bigl((-1)^{n}-1\bigr).
Simplificando o fator (-1)^{n}-1:
  • Se n é par, (-1)^{n}-1=0 então essa contribuição é 0.
  • Se n é ímpar, (-1)^{n}-1=-2 então a contribuição é
\frac{6}{n\pi}\cdot(-2)=-\frac{12}{n\pi}.
Portanto, combinando as duas contribuições:
  • Para n par: c_n=0.
  • Para n ímpar e n\neq 3: c_n=-\dfrac{12}{n\pi}.
  • Para n=3: soma da parte do primeiro termo (5) com a contribuição do segundo termo (quando n=3 ímpar):
c_3=5-\frac{12}{3\pi}=5-\frac{4}{\pi}.

Passo 4

Agora escrevemos a solução por superposição dos modos. A solução geral (com \alpha=1 e L=3) é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\,e^{-n^{2}\pi^{2}t/9}\,\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr),
onde os coeficientes c_n são os encontrados no passo anterior. Para clareza podemos separar o termo n=3 e escrever explicitamente a soma sobre ímpares:
u(x,t)=\biggl(5-\frac{4}{\pi}\biggr)e^{-\pi^{2}t}\sin(\pi x) \;+\;\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar},\\ n\neq3}}^{\infty}\left(-\frac{12}{n\pi}\right)e^{-n^{2}\pi^{2}t/9}\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr).í
Essa expressão é totalmente equivalente à escrita única em série \sum_{n=1}^{\infty} c_n e^{-n^{2}\pi^{2}t/9}\sin(n\pi x/3) com os c_n acima; ao tomar t=0 recuperamos 5\sin(\pi x)-3 (por construção dos coeficientes).

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\,e^{-n^{2}\pi^{2}t/9}\,\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr)
onde
c_n=\begin{cases} 0,& n\\ \text{par},\\[6pt] -\dfrac{12}{n\pi},& n\\ \text{ímpar},\\ n\neq3,\\[8pt] 5-\dfrac{4}{\pi},& n=3. \end{cases}í
ou, separando o modo n=3,
u(x,t)=\biggl(5-\frac{4}{\pi}\biggr)e^{-\pi^{2}t}\sin(\pi x) \;+\;\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar},\\ n\neq3}}^{\infty}\left(-\frac{12}{n\pi}\right)e^{-n^{2}\pi^{2}t/9}\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr).í]

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