A equação diferencial é \Theta''+(2+\lambda)\Theta=0.
As condições de contorno são \Theta(0)=0 e \Theta\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0.
Procuramos valores de \lambda para os quais existem soluções não triviais \Theta que satisfaçam ambas as condições (autovalores) e as correspondentes autofunções \Theta(x).]
Passo 2
Simplifico a equação definindo uma constante auxiliar. Seja
\mu=2+\lambda.
Assim a equação fica
\Theta''+\mu\Theta=0.
Explico o porquê: agora a equação tem a forma padrão de uma equação linear de segunda ordem com coeficiente constante, e o sinal de \mu determina o tipo de solução (trigonométrica, polinomial ou exponencial). Vamos analisar os três casos possíveis para \mu: \mu>0, \mu=0 e \mu<0.
Passo 3
Caso \mu>0. Escrevo \mu=k^2 com k>0. A equação torna-se
\Theta''+k^2\Theta=0.
A solução geral dessa equação é
\Theta(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx),
onde A e B são constantes. Explico rápido por que: as funções \cos(kx) e \sin(kx) satisfazem a equação porque suas segundas derivadas são -k^2\cos(kx) e -k^2\sin(kx), respectivamente.
Passo 4
Aplico a condição \Theta(0)=0. Substituindo x=0 na solução geral:
\Theta(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Como \Theta(0)=0, segue que A=0. Portanto, para \mu>0 temos
\Theta(x)=B\sin(kx).
Aqui B deve ser não nulo para obter solução não trivial.
Passo 5
Aplico agora a condição \Theta\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0. Com \Theta(x)=B\sin(kx) e B\neq 0, obtemos
\sin\!\left(k\frac{\pi}{2}\right)=0.
Recordo que \sin(\theta)=0 exatamente quando \theta=n\pi com n\in\mathbb{Z}. Logo
k\frac{\pi}{2}=n\pi \quad\Rightarrow\quad k=2n,
onde n é um inteiro. Para k>0 temos n=1,2,3,\dots (o caso n=0 dá solução trivial). Portanto os valores admissíveis de k são k=2n.
Passo 6
Traduzindo de volta para \mu e \lambda: com k=2n temos
\mu=k^2=(2n)^2=4n^2.
Como \mu=2+\lambda, segue
\lambda = \mu-2 = 4n^2-2,\qquad n=1,2,3,\dots
As autofunções correspondentes (escolhendo B=1 para simplificar, pois qualquer múltiplo é também autofunção) são
\Theta_n(x)=\sin(2n x),\qquad n=1,2,3,\dots
Explico: multiplicar por uma constante não altera a propriedade de ser autofunção; em problemas próprios normalmente aceitamos autofunções até um fator multiplicativo.
Passo 7
Caso \mu=0. Isso corresponde a \lambda=-2. A equação fica \Theta''=0, cuja solução geral é
\Theta(x)=Ax+B.
Aplicando \Theta(0)=0 dá B=0. Aplicando \Theta\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0 dá A\frac{\pi}{2}=0, ou seja A=0. Logo apenas a solução trivial aparece, então \lambda=-2 não é autovalor.
Passo 8
Caso \mu<0. Escrevo \mu=-\alpha^2 com \alpha>0. A equação torna-se
Aplicando \Theta(0)=0 força F=0 (ou C+D=0), então \Theta(x)=E\operatorname{sinh}(\alpha x). A condição \Theta\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0 exige \operatorname{sinh}\!\left(\alpha\frac{\pi}{2}\right)=0, o que só ocorre para \alpha=0, contradizendo \alpha>0. Portanto não há solução não trivial para \mu<0. Assim não surgem autovalores extras deste caso.
Passo 9
Conclusão e interpretação: os únicos autovalores que produzem soluções não triviais compatíveis com as duas condições de contorno são
\lambda_n = 4n^2-2,\qquad n=1,2,3,\dots
com autofunções associadas (até constante multiplicativa)
\Theta_n(x)=\sin(2n x),\qquad n=1,2,3,\dots
Essas funções satisfazem \Theta_n(0)=0 e \Theta_n\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin(n\pi)=0.