Utilize o método de separação de variáveis para determinar as equações diferenciais ordinárias que separam as variáveis da equação com as condições de contorno:
O enunciado pede que eu use o método de separação de variáveis para transformar a equação em PDE dada em equações diferenciais ordinárias (ODEs) que “separam as variáveis”, e também que eu leve em conta as condições fornecidas. As informações dadas são:
O objetivo é obter as ODEs em x e em t (com uma constante de separação) e traduzir as condições de contorno/iniciais para essas ODEs.
Passo 2
Escolho a forma clássica de separação de variáveis — uma solução separável — assumindo que u pode ser escrita como produto de uma função só de x e outra só de t:
u(x,t)=X(x)\,T(t),
onde X depende apenas de x e T depende apenas de t. Aqui X e T são funções reais a determinar. A ideia é substituir essa forma na PDE e obter equações que dependam separadamente de x e de t.
Passo 3
Substituo u(x,t)=X(x)T(t) na PDE. Calculo as derivadas necessárias:
Rearranjo a expressão e divido por X(x)T(t). Note que a divisão por x^{2} exige cuidado no ponto x=0; aqui assumimos trabalho em um domínio onde a separação faz sentido (ou tratamos x=0 como ponto isolado a ser verificado depois). Dividindo por x^{2}X(x)T(t) (para x\neq 0) obtenho:
\frac{X''(x)}{x^{2}X(x)}=\frac{T''(t)}{T(t)}.
O membro esquerdo depende apenas de x e o direito apenas de t; portanto ambos devem ser iguais a uma constante (constante de separação). Chamo essa constante de \lambda\in\mathbb{R}. Assim
Multiplico cada uma para escrever as ODEs em forma padrão. Obtenho o sistema de ODEs separadas:
T''(t)-\lambda\,T(t)=0,
X''(x)-\lambda\,x^{2}\,X(x)=0.
Explicando: \lambda é a constante de separação; o sinal/valor de \lambda determina o tipo de solução de T (por exemplo, se \lambda>0 a solução de T é exponencial, se \lambda=0 é linear em t, se \lambda<0 é oscilatória), enquanto para X temos uma equação do tipo de Sturm–Liouville com coeficiente x^{2} (parecida com equações para funções de parabolicidade ou com problemas envolvendo funções de Hermite, embora aqui apareça x^{2} multiplicando X e não o termo padrão; no exame basta reconhecer a forma e aplicar condições de contorno).
Passo 6
Traduzo as condições dadas para as funções X e T.
A condição inicial u(x,0)=0 dá
X(x)\,T(0)=0\quad\text{para todo }x.
Para obter uma solução separável não-trivial (isto é, não querer u\equiv 0 imediatamentе), escolhemos T(0)=0. (Se T(0)\neq 0 então necessariamente X\equiv 0 e a solução é trivial.)
A condição de contorno \dfrac{\partial u}{\partial x}(3,t)=u(3,t) dá
X'(3)\,T(t)=X(3)\,T(t).
Para T não-trivial isto implica a condição de contorno para X: