Questão 4 (1,0 pt) Encontre a série de Fourier de período
de
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a série de Fourier de período
com
(portanto
) da função
estendida com período
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é definida no intervalo
e o período pedido é (logo ). - Precisamos escrever a série de Fourier periódica de
com período . - Não há figura ou outra tabela; todas as informações necessárias estão no enunciado.
Passo 2
Fórmula padrão (para período
) — quero que você memorize esta forma, ela é a base:
onde
e
Aqui
é a média (termo constante) da série. Sempre que o
for par (isto é,
), os
são zero porque a integral de uma função ímpar sobre
é zero — isso simplifica bastante a conta. Vamos aplicar com
.
Passo 3
Verificação de paridade e consequência:
- Nossa função
satisfaz . Logo é par. - Consequência: todos os
são zero:
Portanto a série será apenas em cossenos (série de Fourier par / série de cossenos).
Passo 4
Cálculo de
(termo constante). Usando
:
Calcule passo a passo:
Avalia:
Logo
Interpretação: a média da função no período é
. Ótimo — já temos o termo constante da série.
Passo 5
Expressão de
para
. Pela definição:
Como
é par (produto de duas funções pares), podemos usar
Separe a integral:
Nota rápida:
para todo
, porque
. Então o primeiro termo desaparece e obtemos
Passo 6
Cálculo da integral
por partes (duas vezes). Recorde da fórmula de integração por partes:
Primeira integração por partes:
- Escolha
e . - Então
e .
Aplicando:
O termo de fronteira é zero porque
e em
vem zero também. Assim
Segunda integração por partes para
:
- Tome
, . - Então
, .
Aplicando:
A integral
já observamos que é zero. Assim só resta o termo de fronteira:
Substitua em
:
Passo 7
Voltando para
:
Podemos reescrever o sinal de forma mais agradável:
Resumo:
e
para todo
.
Passo 8
Monte a série de Fourier completa (com
):
Substituindo
e
, obtemos
Passo 9
Escrevendo os primeiros termos explícitos (útil para conferência na prova):
Note a alternância de sinais dada por
e o
que faz os coeficientes diminuírem rápido.