Questão 4 (1,0 pt) Encontre a série de Fourier de período p=2 L de f(x)=1-x^{2}(-1<x<1), p=2.
\square \frac{1}{3}+\frac{4}{\pi^{2}} \cos \pi x-
\frac{1}{\pi^{2}} \cos 2 \pi x+\ldots
\square \frac{3}{4}
\frac{4}{\pi^{2}} \cos \frac{\pi x}{2} x+
\frac{2}{\pi^{2}} \cos \pi x+\ldots \square \frac{2}{3}-\frac{4}{\pi^{2}} \cos \pi x- \square \frac{1}{3}-\frac{4}{\pi^{2}} \cos \pi x+ \square \frac{1}{4}
\frac{4}{\pi^{2}} \cos \frac{\pi x}{2} x+
\frac{2}{\pi^{2}} \cos \pi x+\ldots

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a série de Fourier de período p=2L com p=2 (portanto L=1) da função
f(x)=1-x^{2},\quad -1<x<1,
estendida com período 2. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é definida no intervalo (-1,1) e o período pedido é 2 (logo L=1).
  • Precisamos escrever a série de Fourier periódica de f com período 2.
  • Não há figura ou outra tabela; todas as informações necessárias estão no enunciado.

Passo 2

Fórmula padrão (para período 2L) — quero que você memorize esta forma, ela é a base:
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\cos\frac{n\pi x}{L}+b_{n}\sin\frac{n\pi x}{L}\right),
onde
a_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\qquad b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx,
e
a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\,dx.
Aqui a_{0}/2 é a média (termo constante) da série. Sempre que o f for par (isto é, f(-x)=f(x)), os b_n são zero porque a integral de uma função ímpar sobre [-L,L] é zero — isso simplifica bastante a conta. Vamos aplicar com L=1.

Passo 3

Verificação de paridade e consequência:
  • Nossa função f(x)=1-x^{2} satisfaz f(-x)=1-(-x)^2=1-x^2=f(x). Logo f é par.
  • Consequência: todos os b_{n} são zero:
b_{n}=0\quad\text{para todo }n\ge1.
Portanto a série será apenas em cossenos (série de Fourier par / série de cossenos).

Passo 4

Cálculo de a_{0} (termo constante). Usando L=1:
a_{0}=\int_{-1}^{1} (1-x^{2})\,dx.
Calcule passo a passo:
\int_{-1}^{1} (1-x^{2})\,dx = \left[\;x-\frac{x^{3}}{3}\;\right]_{-1}^{1}.
Avalia:
\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1-\frac{-1}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}.
Logo
a_{0}=\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad \frac{a_{0}}{2}=\frac{2}{3}.
Interpretação: a média da função no período é 2/3. Ótimo — já temos o termo constante da série.

Passo 5

Expressão de a_{n} para L=1. Pela definição:
a_{n}=\int_{-1}^{1} (1-x^{2})\cos(n\pi x)\,dx.
Como (1-x^{2})\cos(n\pi x) é par (produto de duas funções pares), podemos usar
a_{n}=2\int_{0}^{1} (1-x^{2})\cos(n\pi x)\,dx.
Separe a integral:
a_{n}=2\left(\int_{0}^{1}\cos(n\pi x)\,dx-\int_{0}^{1}x^{2}\cos(n\pi x)\,dx\right).
Nota rápida: \displaystyle\int_{0}^{1}\cos(n\pi x)\,dx=\frac{\sin(n\pi)}{n\pi}=0 para todo n\in\mathbb{Z}_{+}, porque \sin(n\pi)=0. Então o primeiro termo desaparece e obtemos
a_{n}=-2\int_{0}^{1} x^{2}\cos(n\pi x)\,dx.

Passo 6

Cálculo da integral \displaystyle J=\int_{0}^{1} x^{2}\cos(n\pi x)\,dx por partes (duas vezes). Recorde da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Primeira integração por partes:
  • Escolha u=x^{2} e dv=\cos(n\pi x)\,dx.
  • Então du=2x\,dx e v=\dfrac{\sin(n\pi x)}{n\pi}.
Aplicando:
J=\left[x^{2}\cdot\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\cdot 2x\,dx.
O termo de fronteira é zero porque \sin(n\pi)=0 e em x=0 vem zero também. Assim
J=-\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{1} x\sin(n\pi x)\,dx.
Segunda integração por partes para K=\int_{0}^{1} x\sin(n\pi x)\,dx:
  • Tome u=x, dv=\sin(n\pi x)\,dx.
  • Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(n\pi x)}{n\pi}.
Aplicando:
K=\left[-\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}\right]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\,dx.
A integral \displaystyle\int_{0}^{1}\cos(n\pi x)\,dx já observamos que é zero. Assim só resta o termo de fronteira:
K=-\frac{1\cdot\cos(n\pi)}{n\pi}-\left(0\right)=-\frac{\cos(n\pi)}{n\pi}=-\frac{(-1)^{n}}{n\pi}.
Substitua em J:
J=-\frac{2}{n\pi}\cdot K = -\frac{2}{n\pi}\cdot\left(-\frac{(-1)^{n}}{n\pi}\right)=\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}.

Passo 7

Voltando para a_{n}:
a_{n}=-2J=-2\cdot\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}=-\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}.
Podemos reescrever o sinal de forma mais agradável:
a_{n}=\frac{4(-1)^{\,n+1}}{n^{2}\pi^{2}}.
Resumo: b_{n}=0 e a_{n}=\dfrac{4(-1)^{n+1}}{n^{2}\pi^{2}} para todo n\ge1.

Passo 8

Monte a série de Fourier completa (com L=1):
f(x)=1-x^{2}=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\cos(n\pi x).
Substituindo a_{0}/2=\dfrac{2}{3} e a_{n}=\dfrac{4(-1)^{n+1}}{n^{2}\pi^{2}}, obtemos
1-x^{2}=\frac{2}{3}+\frac{4}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n+1}}{n^{2}}\cos(n\pi x).

Passo 9

Escrevendo os primeiros termos explícitos (útil para conferência na prova):
1-x^{2}=\frac{2}{3}+\frac{4}{\pi^{2}}\cos(\pi x)-\frac{1}{\pi^{2}}\cos(2\pi x)+\frac{4}{9\pi^{2}}\cos(3\pi x)-\cdots
Note a alternância de sinais dada por (-1)^{n+1} e o \dfrac{1}{n^{2}} que faz os coeficientes diminuírem rápido.

Resposta

1-x^{2}=\frac{2}{3}+\frac{4}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n+1}}{n^{2}}\cos(n\pi x)

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