Encontre a solução estacionária do problema
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}=\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} \\\ u(0, t)=10 \\\ u(1, t)=20 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação e as condições de contorno:
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}=\frac{\partial u(x, t)}{\partial t} \\\ u(0, t)=10 \\\ u(1, t)=20 \end{array}\right.
O que ele pede é a “solução estacionária” do problema. As informações relevantes são:
  • A equação diferencial parcial \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial u}{\partial t}.
  • As condições de contorno em x: \;u(0,t)=10 e \;u(1,t)=20.
  • Pedimos apenas a solução estacionária (tempo‑independente).

Passo 2

O que significa “solução estacionária”? Uma solução estacionária é uma solução que não depende do tempo. Isto é, existe uma função v apenas de x tal que a solução u(x,t) é igual a essa função para todo t. Em termos matemáticos, para a solução estacionária temos
\frac{\partial u}{\partial t}=0.
Explicando: a derivada temporal sendo zero significa que a temperatura (ou a quantidade que u representa) já atingiu um equilíbrio e não muda com o tempo.

Passo 3

Substituímos a condição de estacionariedade \dfrac{\partial u}{\partial t}=0 na equação PDE original. Assim, a equação fica apenas em x:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0.
Como a solução estacionária depende só de x, escrevemos v(x) para essa função e obtemos a equação ordinária
v''(x)=0.
Ou seja, precisamos resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem v''(x)=0 sujeita às condições v(0)=10 e v(1)=20.

Passo 4

Vamos resolver a ODE v''(x)=0. Integramos uma vez em relação a x:
v'(x)=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração (explico: integrar 0 dá uma constante). Integramos novamente:
v(x)=C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Aqui C_{1} representa a inclinação (derivada) da função v e C_{2} é o valor de v em x=0.

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno para determinar C_{1} e C_{2}.
Usando v(0)=10 na expressão v(x)=C_{1}x+C_{2} temos
v(0)=C_{2}=10.
Usando v(1)=20 obtemos
v(1)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}=20.
Substituindo C_{2}=10 nesta última equação:
C_{1}+10=20,
portanto
C_{1}=10.

Passo 6

Fizemos as contas e encontramos as constantes C_{1} e C_{2}. Para verificar: a segunda derivada de v é v''(x)=0 (pois v'(x)=C_{1} é constante), e as condições de contorno são satisfeitas porque v(0)=C_{2}=10 e v(1)=C_{1}+C_{2}=10+10=20. Assim a função estacionária obtida satisfaz a equação e as condições de contorno. Intuitivamente, em 1D a solução estacionária é a reta que interpola os valores nas extremidades.

Resposta

u(x,t)=10x+10

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