Verifique se o operador linear T((x, y, z)=(x-2z, 2x-y,-z) é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado define TcolonR^3toR^3 por
T(x,y,z) = (x - 2z,;2x - y,;-z)
Queremos verificar se T é diagonalizável, ou seja, se existe uma base de R^3 formada por autovetores de T. Para isso, vamos:
  1. Encontrar a matriz de T na base canônica.
  2. Calcular o polinômio característico e os autovalores.
  3. Determinar os autovetores e suas dimensões (multiplicidades geométricas).
  4. Comparar com as multiplicidades algébricas.

Passo 2

Os vetores da base canônica são
,e1=(1,0,0),;e2=(0,1,0),;e3=(0,0,1).
Calculando:
T(e1) = (1,2,0), T(e2) = (0,-1,0), T(e3) = (-2,0,-1)
Logo, a matriz de T na base canônica é
A = 1 & 0 & -2 2 & -1 & 0 0 & 0 & -1

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 0 & -2 2 & -1-lambda& 0 0 & 0 & -1-lambda = (1-lambda),(-1-lambda)^2
Os autovalores são
lambda=1 com multiplicidade algébrica 1 e
lambda=-1 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para
Dessas equações vem .
Um autovetor é , logo o espaço próprio de tem dimensão .

Passo 5

Para
Dessas equações vem e livre.
Um autovetor é , logo o espaço próprio de tem dimensão , inferior à sua multiplicidade algébrica .

Passo 6

A soma das dimensões dos espaços próprios é 1 + 1 = 2 < 3.
Portanto não existe uma base de autovetores em R^3.

Resposta

T não é diagonalizável.

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