Verifique se o operador linear
é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado define
por
Queremos verificar se
é diagonalizável, ou seja, se existe uma base de
formada por autovetores de
. Para isso, vamos:
- Encontrar a matriz de
na base canônica. - Calcular o polinômio característico e os autovalores.
- Determinar os autovetores e suas dimensões (multiplicidades geométricas).
- Comparar com as multiplicidades algébricas.
Passo 2
Os vetores da base canônica são
.
Calculando:
Calculando:
Logo, a matriz de
na base canônica é
Passo 3
O polinômio característico de
A é
Os autovalores são
lambda=1 com multiplicidade algébrica
1 e
lambda=-1 com multiplicidade algébrica
2 .
Passo 4
Para
Dessas equações vem .
Um autovetor é
, logo o espaço próprio de
tem dimensão
.
Passo 5
Para
Dessas equações vem e
livre.
Um autovetor é
, logo o espaço próprio de
tem dimensão
, inferior à sua multiplicidade algébrica
.
Passo 6
A soma das dimensões dos espaços próprios é
1 + 1 = 2 < 3 .
Portanto não existe uma base de autovetores emR^3 .
Portanto não existe uma base de autovetores em