Encontre o volume da caixa (paralelepípedo) determinado pelos vetores u=i+2 j-k, v=2 i+3 k e w=7 j-4 k.

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
u= i + 2,j - k,
v=2,i + 3,k e
w=7,j - 4,k.
O conteúdo que vamos usar é o produto misto de vetores, que diz que o volume é
V = l|ucdot(vtimesw)r|

Passo 2

Escrevemos as coordenadas em R^3:
u=(1,2,-1), v=(2,0,3) e w=(0,7,-4).
Então aplicamos a definição de produto vetorial e escalar para calcular
vtimesw e depois o produto escalar com u.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
vtimesw = i & j & k 2 & 0 & 3 0 & 7 & -4 = i(0cdot(-4)-3cdot7);-;j(2cdot(-4)-3cdot0);+;k(2cdot7-0cdot0),
portanto
vtimesw = -21,i +8,j +14,k

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar com u:
ucdot(vtimesw) = (1,2,-1)cdot(-21,8,14) =1cdot(-21)+2cdot8+(-1)cdot14 =-21+16-14=-19
O volume é o valor absoluto desse resultado, ou seja,
V = l|-19r| = 19

Resposta

19

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