Encontre os autovalores e autovetores associados dos operadores lineares T: V longrightarrow V e matrizes em M(n, n) seguintes:
V=R^2, T(x, y)=(-y, x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores lambda e autovetores vneq 0 do operador linear
Tcolon R^2toR^2, T(x,y)=(-y,x)
O conteúdo é o conceito de autovalor e autovetor: buscamos lambda e v=(x,y)neq(0,0) tais que
T(x,y)=lambda,(x,y)

Passo 2

Aplicando a definição, impomos
T(x,y)=(-y,x)=(lambda x,;lambda y)
Isso gera o sistema
-y=lambda x, x=lambda y

Passo 3

Para ter vetor não nulo, analisamos duas situações:
  • Se y=0, da segunda equação x=lambdacdot0=0, o que dá vetor nulo, não serve.
  • Logo yneq0. Da segunda equação x=lambda y e, substituindo na primeira,
-y=lambda(lambda y);Longrightarrow; -1=lambda^2;Longrightarrow;lambda^2=-1
Não há solução real para lambda. Concluímos que em R^2 o operador T não tem autovalores nem autovetores reais.

Passo 4

Se estendermos o escalar para C, o mesmo cálculo dá
lambda^2=-1Longrightarrow lambda=pm i
Para lambda=i, da equação x=lambda y=i,y escolhemos y=1 e obtemos o autovetor
vi=(i,1)
Para lambda=-i, analogamente x=-i,y com y=1
v-i=(-i,1)

Resposta

Não existem autovalores reais para TcolonR^2toR^2.
Em C^2 as soluções são
lambda=i, vi=(i,1); lambda=-i, v-i=(-i,1)

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