Seja
o espaço vetorial de todas as funções contínuas
. Sejam
tais que
. Decidi se os vetores
e
são linearmante independente ou não.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
em
são linearmente independentes, isto é, se existe combinação
(função zero) com
. Vamos usar propriedades de logaritmo e o conceito de independência linear em espaços de funções.
Passo 2
Usando a propriedade do logaritmo, temos
Passo 3
Considere a combinação linear
Queremos que isso seja a função zero para todo
.
Passo 4
A função
não é identicamente zero em
. Logo, para
é necessário e suficiente que
Como
e
são dados não nulos e distintos, podemos escolher, por exemplo,
e
para obter uma solução não trivial
. Isso mostra que existe combinação linear não trivial que anula
e
.
Resposta
As funções
e
são linearmente dependentes.