Seja C0((0, infty)) o espaço vetorial de todas as funções contínuas f:(0, infty) R. Sejam a, b in R backslash0 tais que a neq b. Decidi se os vetores f(t)=ln t^a e g(t)=ln t^b são linearmante independente ou não.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
f(t)=ln t^a, g(t)=ln t^b
em C0((0,infty)) são linearmente independentes, isto é, se existe combinação
alpha f+beta g=0 (função zero) com (alpha,beta)neq(0,0). Vamos usar propriedades de logaritmo e o conceito de independência linear em espaços de funções.

Passo 2

Usando a propriedade do logaritmo, temos
f(t)=ln t^a=aln t, g(t)=ln t^b=bln t

Passo 3

Considere a combinação linear
alpha f(t)+beta g(t) =alpha,aln t+beta,bln t =(alpha a+beta b)ln t
Queremos que isso seja a função zero para todo t>0.

Passo 4

A função ln t não é identicamente zero em (0,infty). Logo, para
(alpha a+beta b)ln tequiv 0
é necessário e suficiente que
alpha a+beta b=0
Como a e b são dados não nulos e distintos, podemos escolher, por exemplo, alpha=b e beta=-a para obter uma solução não trivial (alpha,beta)neq(0,0). Isso mostra que existe combinação linear não trivial que anula f e g.

Resposta

As funções f e g são linearmente dependentes.

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