Mostre que as funções f, g e h em C1(R) dadas são linearmente indepnedentes.
f(t)=e^t, g(t)=e^2 t e h(t)=t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
f(t)=e^t, g(t)=e^2t e h(t)=t
são linearmente independentes em C1(R).
Isto significa que, se existir uma combinação linear
alpha,f(t)+beta,g(t)+gamma,h(t)=0
para todo tinR, então devemos concluir que alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Partimos da suposição de que há escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,e^t+beta,e^2t+gamma,t=0
para todo t. Como as três funções são de classe C^1, podemos derivar a identidade em t sem problemas. Derivando uma vez, obtemos
alpha,e^t+2beta,e^2t+gamma=0
e derivando de novo,
alpha,e^t+4beta,e^2t=0

Passo 3

A equação da segunda derivada pode ser reescrita como
e^t,l(alpha+4beta,e^tr)=0
Como e^tneq0 para todo t, segue que
alpha+4beta,e^t=0
para todo tinR.

Passo 4

A expressão alpha+4beta,e^t só pode ser identicamente zero em t se beta=0 (caso contrário 4beta,e^t varia com t). Logo beta=0 e, voltando a alpha+4beta,e^t=0, temos também alpha=0.

Passo 5

Com alpha=0 e beta=0, voltamos à primeira derivada
alpha,e^t+2beta,e^2t+gamma=0
que fica simplesmente gamma=0.

Resposta

Como a única combinação linear que zera simultaneamente e^t, e^2t e t é a trivial alpha=beta=gamma=0, concluímos que f, g e h são linearmente independentes.

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