Mostre que as funções
e
em
dadas são linearmente indepnedentes.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
,
e
são linearmente independentes em .
Isto significa que, se existir uma combinação linear
são linearmente independentes em
Isto significa que, se existir uma combinação linear
para todo
, então devemos concluir que
.
Passo 2
Partimos da suposição de que há escalares
tais que
para todo
. Como as três funções são de classe
, podemos derivar a identidade em
sem problemas. Derivando uma vez, obtemos
e derivando de novo,
Passo 3
A equação da segunda derivada pode ser reescrita como
Como
para todo
, segue que
para todo
.
Passo 4
A expressão
só pode ser identicamente zero em
se
(caso contrário
varia com
). Logo
e, voltando a
, temos também
.
Passo 5
Com
e
, voltamos à primeira derivada
que fica simplesmente
.
Resposta
Como a única combinação linear que zera simultaneamente
,
e
é a trivial
, concluímos que
,
e
são linearmente independentes.