Encontre os autovalores e os autovetores da matriz
A=[lll 2 & -3 & 1 1 & -2 & 1 1 & -3 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A dada. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular determinantes, resolver equações características e encontrar vetores que correspondam a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são autovalores e autovetores. Dada uma matriz quadrada A , um autovalor lambda é um número tal que existe um vetor não nulo v (o autovetor) que satisfaz a equação:
Av = lambdav
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 2 - lambda & -3 & 1 1 & -2 - lambda & 1 1 & -3 & 2 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = 2 - lambda & -3 & 1 1 & -2 - lambda & 1 1 & -3 & 2 - lambda

Passo 4

Para calcular o determinante, vamos expandir pela primeira linha:
det(A - lambda I) = (2 - lambda) -2 - lambda & 1 -3 & 2 - lambda - (-3) 1 & 1 1 & 2 - lambda + 1 1 & -2 - lambda 1 & -3
Vamos calcular cada um desses menores:
  1. Primeiro menor:
-2 - lambda & 1 -3 & 2 - lambda = (-2 - lambda)(2 - lambda) - (-3)(1) = ( (-2)(2 - lambda) - lambda(2 - lambda) ) + 3
Expandindo:
= (-4 + 2lambda -2lambda + lambda^2) + 3 = lambda^2 -4 +3 = lambda^2 -1
  1. Segundo menor:
1 & 1 1 & 2 - lambda = 1(2 - lambda) - 1(1) = 2 - lambda -1 = 1 - lambda
  1. Terceiro menor:
1 & -2 - lambda 1 & -3 = 1(-3) - 1(-2 - lambda) = -3 +2 + lambda = -1 + lambda

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 -1) - (-3)(1 - lambda) + 1(-1 + lambda)
Simplificando termo a termo:
  1. Primeiro termo:
(2 - lambda)(lambda^2 -1) = 2lambda^2 -2 - lambda^3 + lambda = -lambda^3 + 2lambda^2 + lambda -2
  1. Segundo termo:
- (-3)(1 - lambda) = 3(1 - lambda) = 3 - 3lambda
  1. Terceiro termo:
1(-1 + lambda) = -1 + lambda
Somando todos os termos:
-lambda^3 + 2lambda^2 + lambda -2 +3 -3lambda -1 + lambda = -lambda^3 + 2lambda^2 - lambda
Então, a equação característica é:
-lambda^3 + 2lambda^2 - lambda = 0
Podemos fatorar um -lambda :
-lambda(lambda^2 - 2lambda +1) = 0

Passo 6

Resolvendo a equação fatorada:
-lambda(lambda^2 - 2lambda +1) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. -lambda = 0 Rightarrow lambda = 0
  2. lambda^2 - 2lambda +1 = 0
Resolvendo a segunda equação:
lambda^2 - 2lambda +1 = 0
Isso é um quadrado perfeito:
(lambda -1)^2 = 0 Rightarrow lambda =1
Então, os autovalores são lambda1 = 0 e lambda2 = 1 (com multiplicidade 2).

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para [\lambda = 0):
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Subtraindo a segunda da terceira:
Então, temos , então o autovetor é:
Podemos escolher para simplificar:
Para :
Resolvemos :
O sistema de equações é:
Todas as equações são iguais, então temos duas variáveis livres. Vamos escolher . Da equação:
Portanto, os autovetores são da forma:
Podemos escolher duas soluções independentes, por exemplo:

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda1 = 0 e lambda2 = 1 (com multiplicidade 2). Os autovetores correspondentes são:
  • Para lambda1 = 0 :
v = 1 1 1
  • Para lambda2 = 1 :
v1 = 3 1 0 , v2 = -1 0 1

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