Sejam e pontos do espaço euclidiano e considere o triângulo com vértices ABC . Seja o ponto do segmento de reta que satisfaz |A D|=23|A C|. Se alpha e beta são números reais tais que B D=alpha B A+beta B C, então alpha-beta é igual a:
(a) -23;
(b) -1 ;
(c) -13;
(d) 23;
(e) 1 .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo ABC no espaço euclidiano e um ponto D no segmento AC tal que o comprimento de AD é 23 do comprimento de AC . Precisamos encontrar os números reais alpha e beta que satisfazem a relação BD = alpha BA + beta BC e, em seguida, calcular alpha - beta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço, como representação vetorial de pontos e combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a posição do ponto D em termos dos pontos A e C . Sabemos que D está no segmento AC e que |AD| = 23 |AC| . Isso significa que D divide AC na razão 2:1 .
Podemos representar o vetor AD como uma fração do vetor AC :
AD = 23 AC
Passo 3
Agora, queremos expressar BD em termos de BA e BC . Para isso, vamos usar a ideia de combinar vetores.
Sabemos que:
BD = BA + AD
Substituindo AD pela expressão que encontramos:
BD = BA + 23 AC
Passo 4
Precisamos expressar AC em termos de BC . Observamos que: