Sejam A, B e C pontos do espaço euclidiano e considere o triângulo com vértices ABC . Seja D o ponto do segmento de reta A C que satisfaz |A D|=23|A C|. Se alpha e beta são números reais tais que B D=alpha B A+beta B C, então alpha-beta é igual a:
(a) -23;
(b) -1 ;
(c) -13;
(d) 23;
(e) 1 .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo ABC no espaço euclidiano e um ponto D no segmento AC tal que o comprimento de AD é 23 do comprimento de AC . Precisamos encontrar os números reais alpha e beta que satisfazem a relação BD = alpha BA + beta BC e, em seguida, calcular alpha - beta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço, como representação vetorial de pontos e combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a posição do ponto D em termos dos pontos A e C . Sabemos que D está no segmento AC e que |AD| = 23 |AC| . Isso significa que D divide AC na razão 2:1 .
Podemos representar o vetor AD como uma fração do vetor AC :
AD = 23 AC

Passo 3

Agora, queremos expressar BD em termos de BA e BC . Para isso, vamos usar a ideia de combinar vetores.
Sabemos que:
BD = BA + AD
Substituindo AD pela expressão que encontramos:
BD = BA + 23 AC

Passo 4

Precisamos expressar AC em termos de BC . Observamos que:
AC = AB + BC
Sabendo que AB = -BA , fica:
AC = -BA + BC

Passo 5

Substituindo AC na expressão de BD :
BD = BA + 23 (-BA + BC)
Distribuindo o 23:
BD = BA - 23 BA + 23 BC
Simplificando os coeficientes de BA :
BD = (1 - 23) BA + 23 BC = 13 BA + 23 BC

Passo 6

Comparando com a expressão fornecida na questão:
BD = alpha BA + beta BC
Podemos identificar que:
alpha = 13 e beta = 23

Resposta

A diferença alpha - beta é:
alpha - beta = 13 - 23 = -13
Portanto, a resposta correta é a opção (c) -13 .

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