Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz A definida como:
A=[ccc 7 & -2 & 0 -2 & 6 & -2 0 & -2 & 5 ],
E o objetivo é mostrar que os autovetores dessa matriz são ortogonais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovetores, matrizes simétricas e o conceito de ortogonalidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, se A = A^T . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Como A^T = A , podemos confirmar que A é uma matriz simétrica.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre autovetores e ortogonalidade. Um autovetor de uma matriz é um vetor não nulo que, quando multiplicado pela matriz, resulta em um múltiplo dele mesmo. Ou seja, para uma matriz A e um vetor v , se Av = lambdav , então v é um autovetor de A com autovalor lambda .
A ortogonalidade entre vetores significa que o produto interno (também conhecido como produto escalar) entre eles é zero. Isso implica que os vetores são “perpendiculares” entre si no espaço.
Importante destacar que matrizes simétricas têm a propriedade de que seus autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais. Isso é uma consequência do Teorema Espectral, que nos diz que podemos diagonalizar matrizes simétricas usando uma base de autovetores ortogonais.
Resposta
Como a matriz A é simétrica e, de acordo com o Teorema Espectral, os autovetores de matrizes simétricas correspondentes a autovalores distintos são ortogonais, concluímos que os autovetores da matriz A são ortogonais.