Verifique se o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(z, y, x)
é diagonalizável e, caso seja, determine uma representação diagonal, ou seja, uma matriz diagonal D \in M_{3}(\mathbb{R}) que representa o operador T e uma base de autovetores correspondente.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (z,y,x).
O conteúdo é diagonalização de operador em espaço real: precisamos achar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico, encontrar autovalores e autovetores, verificar se a soma das dimensões dos espaços próprios é 3 e então montar a matriz diagonal e a base de autovetores.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, com e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1), temos
T(e_1)=T(1,0,0)=(0,0,1)=e_3,\quad T(e_2)=(0,1,0)=e_2,\quad T(e_3)=(1,0,0)=e_1.
Logo a matriz de T nessa base é
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico de A é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 1\\\\ 0 & 1-\lambda & 0\\\\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix} -\lambda & 1\\\\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)(\lambda^2-1) =(\lambda-1)^2(\lambda+1).
Assim os autovalores são \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=-1 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0:
\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad x=z,\;y\text{ livre}.
Um sistema de gera-dores é \{(1,0,1),(0,1,0)\}, ou seja a dimensão do espaço próprio de \lambda=1 é 2.
Para \lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad x+z=0,\;y=0,
logo o espaço próprio é gerado por (1,0,-1) e tem dimensão 1.

Passo 5

Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 2+1=3, o operador T é diagonalizável. Tomando a base de autovetores
v_1=(1,0,1),\;v_2=(0,1,0)\quad(\text{autovalor }1), \quad v_3=(1,0,-1)\quad(\text{autovalor }-1),
a matriz de mudança de base P = [\,v_1\;v_2\;v_3\,] diagonaliza A segundo
P^{-1}AP = D \quad\text{com}\quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz diagonal é
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
e uma base de autovetores correspondente é
\{(1,0,1),\;(0,1,0),\;(1,0,-1)\}.

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