Utilize o processo de diagonalização ortogonal e identifique a cônica de equação
9 x^{2}-4 x y+6 y^{2}-30=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar a cônica
9x^{2}-4xy+6y^{2}-30=0
usando o processo de diagonalização ortogonal de sua forma quadrática. Vamos tratar o termo quadrático como Q(x,y)=[x\;y]A[x\;y]^{T} e encontrar uma rotação que elimine o termo xy, obtendo a equação canônica e classificando a cônica.

Passo 2

Escrevemos a matriz simétrica A associada à parte quadrática. Como o termo misto é -4xy, temos
A=\begin{pmatrix} 9 & -2\\\\ -2 & 6 \end{pmatrix},
pois em geral a forma é ax^{2}+2bxy+cy^{2} com b=-2.

Passo 3

Calculamos os autovalores de A resolvendo
\det(A-\lambda I)= \begin{vmatrix} 9-\lambda & -2\\\\ -2 & 6-\lambda \end{vmatrix} =(9-\lambda)(6-\lambda)-4=0.
Isso dá
\lambda^{2}-15\lambda+50=0,
cuja solução é
\lambda_{1}=\frac{15+5}{2}=10, \quad \lambda_{2}=\frac{15-5}{2}=5.

Passo 4

Agora achamos autovetores ortonormais.
Para \lambda_{1}=10\), a equação \((A-10I)v=0\) vira \[\begin{cases} (9-10)x-2y=-x-2y=0 \end{cases} \implies x=-2y.
Tomamos (v_{1}=(-2,1)] e normalizamos:
u_{1}=\frac{1}{\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}}(-2,1)=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1).
Para \lambda_{2}=5, a equação (A-5I)v=0
4x-2y=0\implies y=2x.
Tomamos v_{2}=(1,2) e normalizamos:
u_{2}=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2).
Os vetores u_{1},u_{2} formam uma base ortonormal.

Passo 5

Fazendo a mudança de variáveis ortogonal
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix}, \quad P=\bigl[u_{1}\;u_{2}\bigr],
a forma quadrática diagona-se em
10\,u^{2}+5\,v^{2}-30=0.
Reescrevendo em forma canônica e dividindo por 30:
\frac{u^{2}}{3}+\frac{v^{2}}{6}=1.

Passo 6

A equação
\frac{u^{2}}{3}+\frac{v^{2}}{6}=1
é de uma elipse com semi-eixos \sqrt{3} e \sqrt{6}. O eixo maior (semi-eixo \sqrt{6}) está na direção do autovetor associado a \lambda_{2}=5, isto é, do vetor (1,2). Logo a cônica dada é uma elipse rotacionada.

Resposta

A cônica é uma elipse rotacionada cuja equação canônica, após rotação de eixo, é
\frac{u^{2}}{3}+\frac{v^{2}}{6}=1.

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