Utilize o processo de diagonalização ortogonal e identifique a cônica de equação
9 x^{2}-4 x y+6 y^{2}-30=0
Passo 1
O enunciado pede para identificar a cônica
9x^{2}-4xy+6y^{2}-30=0
usando o processo de diagonalização ortogonal de sua forma quadrática. Vamos tratar o termo quadrático como Q(x,y)=[x\;y]A[x\;y]^{T} e encontrar uma rotação que elimine o termo xy, obtendo a equação canônica e classificando a cônica.
Passo 2
Escrevemos a matriz simétrica A associada à parte quadrática. Como o termo misto é -4xy, temos
Reescrevendo em forma canônica e dividindo por 30:
\frac{u^{2}}{3}+\frac{v^{2}}{6}=1.
Passo 6
A equação
\frac{u^{2}}{3}+\frac{v^{2}}{6}=1
é de uma elipse com semi-eixos \sqrt{3} e \sqrt{6}. O eixo maior (semi-eixo \sqrt{6}) está na direção do autovetor associado a \lambda_{2}=5, isto é, do vetor (1,2). Logo a cônica dada é uma elipse rotacionada.
Resposta
A cônica é uma elipse rotacionada cuja equação canônica, após rotação de eixo, é