Encontre os autovalores e autovetores dos operadores abaixo:
T(x, y)=(-x, y+3 x) R: lambda=-1, v=(-32 y, y)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear
TcolonR^2toR^2, T(x,y)=(-x,;y+3x)
Para isso vamos escrever T como matriz na base canônica, calcular o polinômio característico, achar os valores de lambda e depois os vetores não-nulos que satisfazem T(v)=lambda v. Note que o operador R não está definido no enunciado, então não podemos determinar seus autovalores nem autovetores.

Passo 2

Escrevendo na base canônica , temos
Chamemos essa matriz de

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A-lambda I) =det-1-lambda&03&1-lambda =(-1-lambda)(1-lambda)
Igualando a zero, obtemos os autovalores
(-1-lambda)(1-lambda)=0 Longrightarrow lambda1=-1,;lambda2=1

Passo 4

Para cada lambda resolvemos (A-lambda I)v=0.
  1. Se lambda=-1,
A-(-1)I =0&03&2,
a equação 3x+2y=0 x=-tfrac23y.
Logo os autovetores são
v=y-tfrac231, yneq0,
ou seja Span(-2/3,1).
  1. Se lambda=1,
A-1I =-2&03&0,
a equação -2x=0 implica x=0 e y livre.
Assim os autovetores são
v=y01, yneq0,
ou seja Span(0,1).

Resposta

Autovalores e autovetores de T:
lambda=-1, vinSpanll(-tfrac23,1r)r; lambda=1, vinSpan(0,1)
Quanto ao operador R, ele não foi definido no enunciado, então não é possível determinar seus autovalores nem autovetores.

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