Estabeleça as condições sobre m, n in Z de modo que a operação star sobre Z dada pela lei x star y=mx+ny:
admita elemento neutro.

Passo 1

O enunciado define em Z a operação
xstar y = m,x + n,y,
e pede para achar condições sobre m,ninZ tais que exista um elemento neutro einZ. Vamos usar a definição de elemento neutro em operação binária: deve ser bilateral (esquerdo e direito).

Passo 2

Se e é elemento neutro, então para todo xinZ vale simultaneamente
estar x = x e xstar e = x

Passo 3

Da primeira igualdade
estar x = m,e + n,x = x,
como isso vale para todo x, os coeficientes de x devem bater e o termo constante deve anular-se. Logo
n = 1 e m,e = 0

Passo 4

Da segunda igualdade
xstar e = m,x + n,e = x,
que para todo x impõe
m = 1 e n,e = 0

Passo 5

Juntando
n=1, m=1, m,e=0, n,e=0
vemos que m=1 e n=1 e que então e satisfaz 1cdot e=0, ou seja e=0. Verifica-se de fato
0star x = 1cdot0 + 1cdot x = x, xstar 0 = 1cdot x + 1cdot0 = x

Resposta

A operação admite elemento neutro se, e somente se,
m = 1 e n = 1,
nesse caso o neutro é e=0.

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