Seja u um vetor não-nulo em V. Mostre que a reflexão R: V V em torno da reta ell gerada por u é dada por
R v=2 lang<=v, urang<=lang<=u, urang<= u-v
Mostre que R circ R=I, onde I: V V é a transformação identidade.

Passo 1

O enunciado define em um espaço com produto interno V um vetor fixo não-nulo u e a reflexão em torno da reta ell=spanu pela fórmula
R(v) ;=; 2,lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u;-;v
Precisamos mostrar que aplicar R duas vezes dá a transformação identidade, isto é,
(Rcirc R)(v)=v para todo vin V

Passo 2

Vamos escrever R(v) em função da projeção ortogonal de v sobre u. Definimos
p(v) ;=;lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u,
que é exatamente o componente de v paralelo a u. Então
R(v) ;=;2,p(v) ;-;v

Passo 3

Decomponha v em parte paralela e perpendicular a u:
v =underbracep(v)vparal<=l +underbracel(v-p(v)r)vperp
Por construção lang<= vperp,urang<==0.

Passo 4

Calcule R em cada parte:
  • Para a parte paralela vparal<=l=p(v), temos R(vparal<=l) =2,p(vparal<=l)-vparal<=l =2,vparal<=l-vparal<=l =vparal<=l, porque p(vparal<=l)=vparal<=l.
  • Para a parte perpendicular vperp, como lang<= vperp,urang<==0 temos p(vperp)=0, logo R(vperp) =2,p(vperp)-vperp =0-vperp =-vperp

Passo 5

Agora, para qualquer v=vparal<=l+vperp,
R(v) =vparal<=l-vperp
Aplicando R de novo:
Rl(R(v)r) =R(vparal<=l-vperp) =R(vparal<=l)-R(vperp) =vparal<=l-(-vperp) =vparal<=l+vperp =v
Portanto (Rcirc R)(v)=v para todo v.

Resposta

Rcirc R = I

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