Seja u um vetor não-nulo em
. Mostre que a reflexão
em torno da reta
gerada por
é dada por
Mostre que
, onde
é a transformação identidade.
Passo 1
O enunciado define em um espaço com produto interno
um vetor fixo não-nulo
e a reflexão em torno da reta
pela fórmula
Precisamos mostrar que aplicar
duas vezes dá a transformação identidade, isto é,
Passo 2
Vamos escrever
em função da projeção ortogonal de
sobre
. Definimos
que é exatamente o componente de
paralelo a
. Então
Passo 3
Decomponha
em parte paralela e perpendicular a
:
Por construção
lang<= vperp,urang<==0 .
Passo 4
Calcule
R em cada parte:
- Para a parte paralela
, temosvparal<=l=p(v) porqueR(vparal<=l) =2,p(vparal<=l)-vparal<=l =2,vparal<=l-vparal<=l =vparal<=l, .p(vparal<=l)=vparal<=l - Para a parte perpendicular
, comovperp temoslang<= vperp,urang<==0 , logop(vperp)=0 R(vperp) =2,p(vperp)-vperp =0-vperp =-vperp
Passo 5
Agora, para qualquer
v=vparal<=l+vperp ,
Aplicando
R de novo:
Portanto
(Rcirc R)(v)=v para todo
v .