Quais das seguintes funções T são lineares? Justifique.
T: R^3 M(2,2) tal que T(x, y, z)=[cc2 x-y & x+y+z x+y-z & 2 y-3 z];

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Tcolon R^3to M(2,2), T(x,y,z)=2x - y & x + y + z [6pt] x + y - z & 2y - 3z,
e pede para verificar se T é linear. Lembrando que T é linear se, para todo u,vinR^3 e todo escalar c, valem
1) T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
2) T(c,u)=c,T(u) (homogeneidade)]

Passo 2

Vamos checar a aditividade. Seja
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
e
T(u+v) = 2(x1+x2)-(y1+y2) & (x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)[4pt] (x1+x2)+(y1+y2)-(z1+z2) & 2(y1+y2)-3(z1+z2)
Reescrevendo cada entrada como soma, vemos que isso é exatamente
2x1-y1 & x1+y1+z1 [4pt] x1+y1-z1 & 2y1-3z1 + 2x2-y2 & x2+y2+z2 [4pt] x2+y2-z2 & 2y2-3z2 = T(u)+T(v)
Portanto, T(u+v)=T(u)+T(v).]

Passo 3

Agora a homogeneidade. Seja cinR. Então
c,u=(c,x,c,y,c,z)
e
T(c,x,c,y,c,z) = 2(c,x)-(c,y) & c,x+c,y+c,z [4pt] c,x+c,y-c,z & 2(c,y)-3(c,z) = c(2x-y) & c(x+y+z) [4pt] c(x+y-z) & c(2y-3z) =c,T(x,y,z)
Logo, T(c,u)=c,T(u).]

Passo 4

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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