Encontre os autovalores de A e A^-1, onde
A=(ll 0 & 2 1 & 1 )
Existe alguma relação entre os autovalores de A e A^-1 ?

Passo 1

O enunciado pede os autovalores de
A = 0 & 2 1 & 1
e de A^-1.
Conteúdo: vamos usar o polinômio característico det(A-lambda I)=0 para achar os autovalores de A e depois a propriedade de que, se A é invertível, os autovalores de A^-1 são os inversos dos autovalores de A.

Passo 2

Formamos A - lambda I e calculamos seu determinante:
A - lambda I = -lambda & 2 1 & 1-lambda ,
det(A - lambda I) =(-lambda)(1-lambda)-2cdot1 =lambda^2-lambda-2

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico
lambda^2-lambda-2=0
pela fórmula de Bhaskara,
lambda = 1pmraiz1+82 =1pm32,
obtemos
lambda1=2, lambda2=-1

Passo 4

Verificamos que det(A)=-2neq0, logo A é invertível. Podemos escrever
A^-1 = 1det(A) 1 & -2 -1 & 0 = -1/2 & 1 1/2 & 0

Passo 5

Em geral, se lambda é autovalor de Aneq0, então 1/lambda é autovalor de A^-1. Assim, os autovalores de A^-1 são
mu1 = 1lambda1 = 12, mu2 = 1lambda2 = -1

Passo 6

Portanto, existe a relação de que cada autovalor de A^-1 é o recíproco do autovalor correspondente de A.

Resposta

Autovalores de A: 2 e -1.
Autovalores de A^-1: 1/2 e -1.
Relação: os autovalores de A^-1 são os inversos dos autovalores de A.

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