Quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis? Para aquelas que são, encontre uma base de autovetores e exiba a forma diagonal associada.
a) A=(cc3 & 1 -1 & 3)
b) B=(ll2 & 4 4 & 2)
c) C=(cc4 & -1 1 & 2)
d) D=(cc0 & -4 3 & 7)

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes 2times2 e pede para identificar quais são diagonalizáveis (sobre R) e, quando for o caso, exibir uma base de autovetores e a forma diagonal associada. Para isso vamos usar o critério: uma matriz é diagonalizável se, e somente se, existe um conjunto de 2 autovetores linearmente independentes, o que ocorre automaticamente quando os autovalores são distintos, ou então quando um autovalor de multiplicidade algébrica 2 tem também multiplicidade geométrica 2.

Passo 2

Analisando
A=3 & 1-1 & 3,
o polinômio característico é
det(A-lambda I)=(3-lambda)^2+1=0;Longrightarrow;lambda=3pm i
Como os autovalores são complexos e não há dois autovetores reais, concluímos que A não é diagonalizável sobre R.

Passo 3

Analisando
o polinômio característico é
com raízes
e , distintos. Logo é diagonalizável.
Para resolvemos
que dá . Um autovetor é .
Para resolvemos
que dá . Um autovetor é .
Assim uma base de autovetores é e a forma diagonal é

Passo 4

Analisando
o polinômio característico é
O único autovalor é com multiplicidade algébrica . Para temos
que impõe , gerando apenas um autovetor fundamental . A multiplicidade geométrica é , logo não é diagonalizável.

Passo 5

Analisando
o polinômio característico é
Os autovalores são e , distintos, então é diagonalizável.
Para resolvemos
que dá , ou . Um autovetor conveniente é .
Para resolvemos
que dá . Um autovetor é .
Assim a base de autovetores é e a forma diagonal é

Resposta

As matrizes diagonalizáveis sobre R são B e D.
B tem base de autovetores (1,1),(1,-1) e forma diagonal
6 & 00 & -2
D tem base de autovetores (4,-3),(1,-1) e forma diagonal
3 & 00 & 4

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