Quais das matrizes abaixo são diagonalizáveis? Para aquelas que são, encontre uma base de autovetores e exiba a forma diagonal associada.
a)
b) B=(ll2 & 4 4 & 2)
c) C=(cc4 & -1 1 & 2)
d) D=(cc0 & -4 3 & 7)
Passo 1
O enunciado dá quatro matrizes 2times2 e pede para identificar quais são diagonalizáveis (sobre R) e, quando for o caso, exibir uma base de autovetores e a forma diagonal associada. Para isso vamos usar o critério: uma matriz é diagonalizável se, e somente se, existe um conjunto de 2 autovetores linearmente independentes, o que ocorre automaticamente quando os autovalores são distintos, ou então quando um autovalor de multiplicidade algébrica 2 tem também multiplicidade geométrica 2.
Passo 2
Analisando
A=3 & 1-1 & 3,
o polinômio característico é
det(A-lambda I)=(3-lambda)^2+1=0;Longrightarrow;lambda=3pm i
Como os autovalores são complexos e não há dois autovetores reais, concluímos que A não é diagonalizável sobre R.
Passo 3
Analisando
o polinômio característico é
com raízes e , distintos. Logo é diagonalizável.
Para resolvemos
que dá . Um autovetor é .
Para resolvemos
que dá . Um autovetor é .
Assim uma base de autovetores é e a forma diagonal é
Passo 4
Analisando
o polinômio característico é
O único autovalor é com multiplicidade algébrica . Para temos
que impõe , gerando apenas um autovetor fundamental . A multiplicidade geométrica é , logo não é diagonalizável.
Passo 5
Analisando
o polinômio característico é
Os autovalores são e , distintos, então é diagonalizável.
Para resolvemos
que dá , ou . Um autovetor conveniente é .
Para resolvemos
que dá . Um autovetor é .
Assim a base de autovetores é e a forma diagonal é
Resposta
As matrizes diagonalizáveis sobre R são B e D. B tem base de autovetores (1,1),(1,-1) e forma diagonal
6 & 00 & -2
D tem base de autovetores (4,-3),(1,-1) e forma diagonal