Encontre um autovetor associado a cada autovalor dado.
[llll3 & 0 & 2 & 0 1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 4], lambda=4.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a matriz
A = 3 & 0 & 2 & 0 1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 4
e o valor próprio lambda=4. O conteúdo aqui é cálculo de autovetores, e vamos precisar resolver o sistema
(A - 4I)x = 0

Passo 2

Escrevemos
A - 4I = 3-4 & 0 & 2 & 0 1 & 3-4 & 1 & 0 0 & 1 & 1-4 & 0 0 & 0 & 0 & 4-4 = -1 & 0 & 2 & 0 1 & -1& 1 & 0 0 & 1 & -3& 0 0 & 0 & 0 & 0 ,
e procuramos x=(x1,x2,x3,x4)^T tal que (A-4I)x=0.

Passo 3

As equações resultantes são
-x1 + 2x3 = 0, x1 - x2 + x3 = 0, x2 - 3x3 = 0,
e não há restrição para x4.
Da primeira obtém-se x1 = 2x3. Substituindo na segunda:
2x3 - x2 + x3 = 0 Longrightarrow x2 = 3x3,
o que coincide com a terceira. Logo x3 é parâmetro livre (digamos t) e x4 é outro parâmetro livre (digamos s).

Passo 4

A solução geral do sistema é
x = 2t 3t t s = t 2310 + s 0001,
com t,sinR e (t,s)neq(0,0). Isso mostra que a multiplicidade geométrica de lambda=4 é 2.

Resposta

Os autovetores associados a lambda=4 formam o espaço próprio
Spanl(2,3,1,0)^T,,(0,0,0,1)^Tr

Exercícios relacionados