Para as seguintes matrizes, encontrar A^1000.
A=[rrr0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular ,A^1000, onde
A= 0 & 7 & -6 -1&4&0 0&2&-2
O conteúdo principal é usar diagonalização via polinômio característico e projeções espectrais para elevar A a uma potência grande de forma fechada.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A. Calculamos
det(A-lambda I) =det -lambda&7&-6 -1&4-lambda&0 0&2&-2-lambda =-lambda^3+2lambda^2+lambda-2
Multiplicando por -1 e fatorando, obtemos
lambda^3-2lambda^2-lambda+2=(lambda-1)(lambda-2)(lambda+1),
logo os autovalores são lambda=1,2,-1, todos distintos.

Passo 3

Como A tem três autovalores distintos, ela é diagonalizável e vale
A^n=2^nP2+1^nP1+(-1)^nP-1,
onde Pj é o projetor espectral sobre o autovalor lambda=j.

Passo 4

Em particular, o projetor de lambda=2 é
P2 =(A-1cdot I)(A-(-1)cdot I)(2-1)(2+1) =(A-I)(A+I)3 =A^2-I3
Como P1+P-1=I-P2 e para n=1000 temos (-1)^1000=1,
A^1000 =2^1000P2+P1+P-1 =2^1000P2+(I-P2) =(2^1000-1)P2+I

Passo 5

Calculemos A^2 para obter P2:
A^2 = -7&16&12 -4&9&6 -2&4&4

Passo 6

Substituindo P2=(A^2-I)/3 em A^1000=(2^1000-1)P2+I, segue
A^1000 =2^1000-13(A^2-I)+I =2^1000-13,A^2 +l(1-2^1000-13r)I =2^1000-13,A^2 +4-2^10003,I

Resposta

A^1000 =2^1000-13 -7&16&12 -4&9&6 -2&4&4 +4-2^10003 1&0&0 0&1&0 0&0&1

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