Para as seguintes matrizes, encontrar
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
,A^1000 , onde
O conteúdo principal é usar diagonalização via polinômio característico e projeções espectrais para elevar
A a uma potência grande de forma fechada.
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico de
A . Calculamos
Multiplicando por
-1 e fatorando, obtemos
logo os autovalores são
lambda=1,2,-1 , todos distintos.
Passo 3
Como
A tem três autovalores distintos, ela é diagonalizável e vale
onde
Pj é o projetor espectral sobre o autovalor
lambda=j .
Passo 4
Em particular, o projetor de
lambda=2 é
Como
P1+P-1=I-P2 e para
n=1000 temos
(-1)^1000=1 ,
Passo 5
Calculemos
A^2 para obter
P2 :
Passo 6
Substituindo
P2=(A^2-I)/3 em
A^1000=(2^1000-1)P2+I , segue