Os pontos
e
são os vértices de um quadrado de lados consecutivos
e
. Sabendo que a origem
encontra-se no interior do quadrado, usando vetores, calcule o valor da diagonal do quadrado.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem um problema onde são dados dois vértices de um quadrado, os pontos A(-2, 0) e B(0, -4). A missão é usar vetores pra descobrir o tamanho da diagonal desse quadrado. A gente vai precisar entender um pouco de vetores e propriedades dos quadrados pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que representam os lados do quadrado. O vetor
vai de A até B. Pra encontrar esse vetor, subtraímos as coordenadas de A das de B:
Esse vetor
representa um lado do quadrado.
Passo 3
Sabemos que em um quadrado, os lados são iguais e os vetores lados consecutivos são perpendiculares (ou seja, formam um ângulo de 90 graus). Então, para encontrar o próximo lado,
, precisamos encontrar um vetor perpendicular a
.
Para que dois vetores sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero. Se
, um vetor perpendicular pode ser
ou
.
No nosso caso,
, então
pode ser
ou
. Como queremos que
seja do mesmo tamanho que
, calculamos o vetor
.
Passo 4
Vamos ver qual desses vetores mantém o quadrado indo na direção certa. Vamos tentar
.
Então, ponto C = B +
= (0, -4) + (-4, -2) = (-4, -6).
Agora, temos os pontos A(-2, 0), B(0, -4), e C(-4, -6).
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o ponto D que completa o quadrado. Sabendo que
também deve ser igual a
, então:
D = A +
= A +
= (-2, 0) + (-4, -2) = (-6, -2).
Então, os quatro vértices do quadrado são A(-2, 0), B(0, -4), C(-4, -6) e D(-6, -2).
Passo 6
Para encontrar a diagonal do quadrado, podemos calcular a distância entre A(-2, 0) e C(-4, -6). A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando:
Resposta
A diagonal do quadrado mede
unidades.