Os pontos A=(-2,0), B=(0,-4), C e D são os vértices de um quadrado de lados consecutivos A B e B C. Sabendo que a origem O=(0,0) encontra-se no interior do quadrado, usando vetores, calcule o valor da diagonal do quadrado.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um problema onde são dados dois vértices de um quadrado, os pontos A(-2, 0) e B(0, -4). A missão é usar vetores pra descobrir o tamanho da diagonal desse quadrado. A gente vai precisar entender um pouco de vetores e propriedades dos quadrados pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que representam os lados do quadrado. O vetor AB vai de A até B. Pra encontrar esse vetor, subtraímos as coordenadas de A das de B:
AB = B - A = (0 - (-2), -4 - 0) = (2, -4)
Esse vetor AB = (2, -4) representa um lado do quadrado.

Passo 3

Sabemos que em um quadrado, os lados são iguais e os vetores lados consecutivos são perpendiculares (ou seja, formam um ângulo de 90 graus). Então, para encontrar o próximo lado, BC, precisamos encontrar um vetor perpendicular a AB.
Para que dois vetores sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero. Se AB = (a, b), um vetor perpendicular pode ser v = (b, -a) ou v = (-b, a).
No nosso caso, AB = (2, -4), então v pode ser ( -4, -2) ou (4, 2). Como queremos que BC seja do mesmo tamanho que AB, calculamos o vetor BC.

Passo 4

Vamos ver qual desses vetores mantém o quadrado indo na direção certa. Vamos tentar BC = (-4, -2).
Então, ponto C = B + BC = (0, -4) + (-4, -2) = (-4, -6).
Agora, temos os pontos A(-2, 0), B(0, -4), e C(-4, -6).

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o ponto D que completa o quadrado. Sabendo que AD também deve ser igual a BC, então:
D = A + AD = A + BC = (-2, 0) + (-4, -2) = (-6, -2).
Então, os quatro vértices do quadrado são A(-2, 0), B(0, -4), C(-4, -6) e D(-6, -2).

Passo 6

Para encontrar a diagonal do quadrado, podemos calcular a distância entre A(-2, 0) e C(-4, -6). A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando:
d = raiz(-4 - (-2))^2 + (-6 - 0)^2 = raiz(-2)^2 + (-6)^2 = raiz4 + 36 = raiz40 = 2raiz10

Resposta

A diagonal do quadrado mede 2raiz10 unidades.

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