Encontre A, B e C na identidade abaixo:
\operatorname{sen}^{5}(x) \cos ^{4}(x)=\operatorname{sen}(x) \cos ^{4}(x)\left(A-B \cos ^{2}(x)+C \cos ^{4}(x)\right)

Passo 1

O enunciado fornece a identidade
\operatorname{sen}^{5}(x)\cos^{4}(x)=\operatorname{sen}(x)\cos^{4}(x)\left(A-B\cos^{2}(x)+C\cos^{4}(x)\right)
e pede para encontrar os valores de A, B e C.
Informações relevantes dadas:
  • A igualdade deve valer para todo x.
  • A expressão à direita está fatorada por \operatorname{sen}(x)\cos^{4}(x).
  • Os termos desconhecidos aparecem como coeficientes das potências de \cos^{2}(x): termo constante, termo em \cos^{2}(x) e termo em \cos^{4}(x).

Passo 2

Fatorar e simplificar a igualdade: observe que o membro esquerdo já contém o fator \operatorname{sen}(x)\cos^{4}(x) multiplicando \operatorname{sen}^{4}(x). Escrevendo isso explicitamente:
\operatorname{sen}^{5}(x)\cos^{4}(x)=\operatorname{sen}(x)\cos^{4}(x)\cdot\operatorname{sen}^{4}(x).
Como as duas expressões são iguais para todo x, podemos comparar os fatores multiplicativos que acompanham \operatorname{sen}(x)\cos^{4}(x). Assim, devemos ter
\operatorname{sen}^{4}(x)=A-B\cos^{2}(x)+C\cos^{4}(x).

Passo 3

Transformar \operatorname{sen}^{4}(x) em uma expressão em potências de \cos(x) usando a identidade pitagórica. Lembre que a identidade fundamental é
\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1,
o que implica
\operatorname{sen}^{2}(x)=1-\cos^{2}(x).
Para obter \operatorname{sen}^{4}(x) elevamos ao quadrado:
\operatorname{sen}^{4}(x)=\big(\operatorname{sen}^{2}(x)\big)^{2}=\big(1-\cos^{2}(x)\big)^{2}.

Passo 4

Desenvolver o quadrado \big(1-\cos^{2}(x)\big)^{2}. Aplicando a fórmula (u-v)^{2}=u^{2}-2uv+v^{2} com u=1 e v=\cos^{2}(x), obtemos
\operatorname{sen}^{4}(x)=1-2\cos^{2}(x)+\cos^{4}(x).

Passo 5

Comparar termo a termo a expressão obtida com a forma pedida A-B\cos^{2}(x)+C\cos^{4}(x). Temos
\operatorname{sen}^{4}(x)=1-2\cos^{2}(x)+\cos^{4}(x)=A-B\cos^{2}(x)+C\cos^{4}(x).
Igualando coeficientes das potências de \cos:
  • coeficiente constante: A=1,
  • coeficiente de \cos^{2}(x): -B=-2 \Rightarrow B=2,
  • coeficiente de \cos^{4}(x): C=1.

Resposta

A=1
B=2
C=1

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