sumn=1^infty(nn+1)^n^2 x^n (Sugestão: aplique o teste da raiz.)

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série
sumn=1^infty(nn+1)^n^2x^n,
usando o teste da raiz.

Passo 2

No teste da raiz, calculamos
limntoinftyraiz[n]|(nn+1)^n^2x^n| =limntoinfty(nn+1)^n,lvert xrvert

Passo 3

Reconhecemos que
limntoinfty(nn+1)^n =limntoinftyl(1-tfrac1n+1r)^n =e^-1
Logo o limite do teste da raiz é
L=e^-1lvert xrvert

Passo 4

Pelo teste da raiz, a série converge se L<1 e diverge se L>1. Assim
e^-1lvert xrvert<1 Long<=ftrightarrow lvert xrvert<e
Para lvert xrvert>e diverge.

Passo 5

Nos extremos lvert xrvert=e o termo geral não tende a zero, pois
(nn+1)^n^2e^n =expl(n^2lntfracnn+1+nr) longrightarrow e^1/2neq0,
e o mesmo vale para x=-e. Logo não há convergência nos extremos.

Resposta

O raio de convergência é R=e, ou seja, a série converge exatamente para lvert xrvert<e.

Exercícios relacionados