Encontre uma base para [1-x, x-x^2, 1-x^2, 1-2 x+x^2] em P2.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de P2 gerado pelos polinômios
p1(x)=1 - x, p2(x)=x - x^2, p3(x)=1 - x^2, p4(x)=1 - 2x + x^2
Vamos expressá-los em coordenadas na base canônica 1,x,x^2 e verificar a independência linear para extrair uma base mínima.

Passo 2

Escrevendo cada pi como vetor de coeficientes em (1,x,x^2), temos
p1mapsto [1,,-1,,0], p2mapsto [0,,1,,-1], p3mapsto [1,,0,,-1], p4mapsto [1,,-2,,1]
Para ver o número de vetores independentes, poderíamos escalonar, mas notamos que todos os determinantes de qualquer submatriz 3times3 são zero. Isso indica que a dimensão do subespaço é <=2.

Passo 3

Basta encontrar dois dentre os pi que sejam linearmente independentes e que gerem os outros. Vejamos se p1 e p2 funcionam:
(1) Verificamos independência:
a(1-x) + b(x - x^2) = 0 Longrightarrow (a,,-a+b,,-b) = (0,0,0)
a=0, de onde b=0. Logo p1 e p2 são independentes.
(2) Geram p3 e p4:
procuramos a,b tais que
a(1-x)+b(x-x^2) = 1 - x^2
Comparando coeficientes em (1,x,x^2) surge a=1, -a+b=0implies b=1 e -b=-1, de modo que
p3 = p1 + p2
De modo análogo, para 1-2x+x^2 obtemos p4=p1-p2.

Passo 4

Concluímos que
,1 - x,;x - x^2
é um conjunto de dois polinômios linearmente independentes que gera todos os pi. Como o subespaço gerado tem dimensão 2, este par é uma base.

Resposta

Uma possível base é
,1 - x,;x - x^2

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