Encontre uma base para
em
.
Passo 1
O enunciado pede uma base para o subespaço de
gerado pelos polinômios
Vamos expressá-los em coordenadas na base canônica
e verificar a independência linear para extrair uma base mínima.
Passo 2
Escrevendo cada
como vetor de coeficientes em
, temos
Para ver o número de vetores independentes, poderíamos escalonar, mas notamos que todos os determinantes de qualquer submatriz
são zero. Isso indica que a dimensão do subespaço é
.
Passo 3
Basta encontrar dois dentre os
que sejam linearmente independentes e que gerem os outros. Vejamos se
e
funcionam:
(1) Verificamos independência:
dá
, de onde
. Logo
e
são independentes.
(2) Geram
e
:
procuramos tais que
procuramos
Comparando coeficientes em
surge
,
e
, de modo que
De modo análogo, para
obtemos
.
Passo 4
Concluímos que
é um conjunto de dois polinômios linearmente independentes que gera todos os
. Como o subespaço gerado tem dimensão
, este par é uma base.
Resposta
Uma possível base é